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代数的对偶空间

设V为 在域F上的向量空间，定义其对偶空间V* 为由V到F的所有线性函数的集合。 即是V的标量线性变换。V* 本身是Ｆ的向量空间并且拥有加法及标量乘法：
(\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,
( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,
∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在张量的语言中,V的元素被称为逆变(contravariant)向量而V*的元素被称为协变(covariant)向量，同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

例子

如果V是有维限的,V*的维度和V的维度便相等; 如果{e1,...,en}是V的基，V* 便应该有相对基 {e1,...,en}，记作：
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i e j \end{matrix}\right.
如果V 是平面几何向量的空间，V* 便是一组组的平衡线。我们能从平衡线应用到任何向量产生一个标量。
如果V是无限维度，ei 不能产生V* 的基;而V* 的维度比V的大。
例如空间R(ω)的元素是实数列，其拥有很多非零数字。Rω的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列(an) 被用于元素(xn) 而产生∑nanxn。

线性映射的转置

设 f: V -> W 是线性映射。 f 的转置 tf : W* → V* 定义为
{}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,
∀ φ ∈ W*.
对任何向量空间 V,W，定义 L(V,W) 为所有从 V 到 W 的线性映射组成的向量空间。f |-> tf 产生从 L(V,W) 至L(W * ,V * )的单射 ；这是个同构当且仅当 W 是有维限的。
若 线性映射 f 表示作其对 V,W 的基之矩阵 A , 则 tf 表示作其对 V * ,W * 的对偶基之 转置矩阵。 若 g: W → X 是另一线性映射，则 t(g o f) = tf o tg.
在范畴论的语言里,为任何向量空间取对偶及为任何线性映射取转置 都是向量空间范畴的逆变函子。

双线性乘积及对偶空间

正如所见，如果V拥有有限维度，V跟V*是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的V的基。事实上，任意同构Φ (V → V*) 在V上定义了一个唯一的非退化的双线性型：
\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,
相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由V映射到V*的同构。

到双对偶空间内的单射

存在一个由V到其双对偶V**的自然映射Ψ ，定义为
(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.
Ψ 常是单射; 当且仅当V的维数有限时, Ψ 是个同构。

连续对偶空间

处理拓扑向量空间时，我们一般仅感兴趣于该空间射到其基域的 连续线性泛函。由此导致连续对偶空间之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间 V 之连续对偶记作 V′。此脉络下可迳称连续对偶为对偶。
线性赋范向量空间 V （如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶 V′ 产生一线性赋范向量空间。对一 V 上之连续线性泛函，其范数 ||φ|| 定义为
\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| <wbr>: \|x\| \le 1 \}
此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。

例子

对任意有限维之 线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里德空间，其连续与代数对偶不二。
令 1 < p < ∞ 为实数，并考虑所有序列 a = (an) 构成之巴拿赫空间 l p，使其范数
\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}
有限。以 1/p + 1/q = 1 定义 q， l p 其连续对偶遂自然等同于 l q：给定一元素 φ ∈ (l p)， l q 中相应元素为序列 (φ(en)) ，其中 en 谓第 n 项为 1 且余项皆 0 之序列。反之，给定一元素 a = (an) ∈ l q，l p 上相应之连续线性泛函 φ 定为 φ(a) = ∑n an bn （对一切 a = (an) ∈ l p）(见 Hölder不等式)。
准此， l 1之连续对偶亦自然同构于 l ∞。再者，巴拿赫空间 c （赋以上确界范数之全体收敛序列）及c0（c 中收敛至零者

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