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教学感官系列：整体代换，计算简单——也谈数学解题中的代换思想运用

2014-12-28 16:43阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1315220960

整体代换，计算简单！
—— 也谈数学解题中的代换思想运用
整体代换思想，是一种重要的数学建模思想。有效运用整体代换思想，不仅能简便地解决较难的数学问题，还能使得数理逻辑更趋巧化，体现数学的简洁传神之美！
例题：有A、B、C三个数，已知A＋B=6 ，B＋C=8，A＋C=10，求这三个数的平均数。


分析：要求三个数的平均数，得先求出三个数的和。经验定势影响，我们学生往往首先想到分别求出A、B、C三个数，然后相加求和。可是，受限条件，本题不便这样去分别计算出三个数来。但如果，我们换个角度去看，只要将这三个数看成整体，整体性地求出这三个数的和，那问题也就迎刃而解了。

解：A＋B=6 ……（1）
B＋C=8 ……（2）
A＋C=10……（3）
（1） +（2）+（3）得，
A＋B＋B＋C＋C＋A=6+8+10
化简得，
2（A+B+C）=24
A+B+C=12
从而求出三个数的平均数是：12÷3=4

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求阴影部分面积。

分析：经验心理驱使下，我们首先这样想：三个阴影部分各自独立成三角形，都知道高，就只要分别知道它们各自的底，就可以分别求出三个三角形的面积，从而在求和即可解决问题。可是，当我们这样去寻求条件时，发现，我们无法正向确定各自三角形的底。这时，我们需要根据图形特点，及问题的指向性，想到将三个三角形的底“捆绑”成一个整体。如果这个整体的“底”能求出来，那将三个三角形的面积当成整体计算，是否就简单了呢！

解：首先给各个三角形标记为：S1、S2、S3，继而又给三段底分别标记为a1、a2、a3。依据图形等量关系得：
S阴=S1+S2+S3
=0.5ha1+0.5ha2+0.5ha3
=0.5h（a1+a2+a3）
由图上数据可知（a1+a2+a3）=11，将此整体代入，
则求出S阴=0.5×6×11
=33（平方厘米）

小学生的思维往往易于经验性地一维定势，长期的类型同一性的训练过程，学生的思维积淀甚深，以至于批判之难以为继。而此类“整体代换”的题，其解答过程，体现出数学思维化繁为简的独特韵味。我们的教学中，平时若多加有素之训练，则学生能学以渔法，自然“鱼”乐无穷！

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