2010年高考数学辽宁理21题
|
题干
|
函数f(x)=x2–ax+(a–1)lnx,a>1.
|
函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
|
(I)
|
讨论f(x)的单调性;
|
讨论f(x)的单调性;
|
(II)
|
证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2), >–1.
|
设a<–1,若对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)–f(x2)|≥4|x1–x2|,求a的取值范围.
|
“说题”之“一说题目立意”
|
①考查求导公式法则,考查用导数方法判断函数的单调性; ②考查“运算能力”中的较高层面“文字处理能力”
③考查分类讨论思想和化归思想;
④考查用构造函数的方法论证或者处理不等式的能力
|
“说题”之“二说背景出处”
|
![[转载]“说题”之“五说一看一内核”]( "[转载]“说题”之“五说一看一内核”") 任何抽象的代数形式背后,都有其深刻的几何背景！二题皆出自高等数学(数学分析)中的“拉格朗日中值定理”：
设函数F(x)在闭区间[m,n](m<n)连续,开区间(m,n)可导,
则$x0∈(a,b),使 =F′(x0)(即存在与割线MN平行的切线)
就两题的(II)问来说,前者可“翻译”为“若a<5,对于x0∈(0,+∞),证明:f ′(x0)>–1”；
后者“翻译”为“若a<–1,对于x0∈(0,+∞),|f ′(x0)|≥4恒成立,求a的取值范围”.
|
“说题”之“三说解答策略”
|
f
′(x)
|
f
′(x)=x–a+
=(x>0,a>1)
|
f
′(x)= +2ax= (x>0)
|
(I)
|
确定出讨论界点:a=1和a=2
|
确定出讨论界点:a=0和a=–1
|
①当a=2时,增区间是(0,+∞);减区间不存在
②当a∈(1,2)时,增区间是(0,a–1)和(1,+∞);
减区间是(a–1,a)
③当a∈(2,+∞)时,增区间是(0,1)和(a–1,+∞);
减区间是(1,a–1)
|
①当a≤–1时,增区间不存在;
减区间是(0,+∞)
②当–1<a<0时,增区间是(0, );
减区间是(,+∞)
③当a≥0时,增区间是(0,+∞),减区间不存在
|
(II)
|
分析:无妨设x1>x2,只要证明f(x1)–f(x2)>–(x1–x2)
即证f(x1)+x1>f(x2)+x2,由此找到构造新函数的根据
|
分析:无妨设x1≥x2>0,当a<–1时,据(I)①,得f(x1)≤f(x2)
则|f(x1)–f(x2)|≥4|x1–x2|Ûf(x2)–f(x1)≥4(x2–x1)
Ûf(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,
由此找到构造新函数的根据
|
设g(x)=f(x)+x(x>0),
g′(x)=x–a+ +1=x+ –(a–1)(x>0,1<a<5)
x>0,a>1Þg′(x)≥2–(a–1)
=2–(a–1)
=(2–)>0(1<a<5)
Þg′(x)>0
Þg(x)在(0,+∞)单增
x1>x2Þg(x1)>g(x2)Þ>0
Þ=
=–1>–1.证毕
|
设g(x)=f(x)+4x(x>0),
据x1≥x2>0,恒有f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2(等号成立当且仅当x1=x2)
则g(x)是(0,+∞)上的减函数
Þx∈(0,+∞)时g′(x)= +2ax+4≤0恒成立,
即a≤ (x>0)恒成立
h(x)=(x>0),h′(x)=(x>0),
易知h(x)在(0, )单减,在(,+∞)单增
Þh(x)min=h()=–2
故a≤–2.
总之a∈(–∞,–2]
|
“说题”之“四说思想方法”
|
①分类讨论思想(如何进行逻辑划分?参数讨论界点的确定)；②化归思想(如何进入旧有的认知结构?)；③数形结合思想(隐藏着的)
|
“说题”之“五说拓展引申”
|
(I)
|
编拟“有意思”的含参数讨论的问题,采用逆向思维.比如,我们“随便”写一个导函数f ′(x)= =ax–(2a+1)+ ,进而求出f ′(x)的一个原函数f(x)= x2–(2a+1)x+2lnx,呈现问题:“设函数f(x)= x2–(2a+1)x+2lnx,讨论f(x)的单调性.”
|
(II)
|
比如我们以三次函数为载体,设f(x)=x3+ax2,受论证方法的启发,设g(x)=f(x)+kxÞg′(x)=3x2+2ax+k=3(x+ )2–+k,希望g(x)单增,故使–+k≥0,即a2≤3k(命k>0)Þ|a|≤
错误！未定义书签。,于是呈现问题:
“设函数f(x)=x3+ax2,证明:若k>0,及|a|≤
错误！未定义书签。,则对任意x1,x2∈R(x1≠x2), >–k(解除所给函数模型的桎梏).”
这样编拟的问题虽然有刀刻斧凿的痕迹,不如原题浑然天成,但比原题多了一个解题入口:
==x12+x22+x1x2+a(x1+x2)=x12+(x2+a)x1+x22+ax2
=(x1+
)2+x22– x2–a2=(x1+ )2+(x2– )2–≥–≥– =–k
等号成立Þx1+ =x2– =0Þx1=x2= ,矛盾,故>–k
此题还有一个附加的功能,它解释了这样一个事实:“函数f(x)在区间(m,n)(m<n)上割线斜率的集合记为A,而在(m,n)上切线的斜率集合记为B,真实的情况是AÍB(你找不到与三次曲线中心处的切线平行的割线!如右图).”
|
设函数f(x)=x–lnx.若对任意的x1,x2∈(2,+∞),x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|<a|x12-x22|(a>0)成立,求正实数a的取值范围.(答:a≥) ![[转载]“说题”之“五说一看一内核”]( "[转载]“说题”之“五说一看一内核”") (解除“拉格朗日中值定理”的桎梏)
|
“说题”之“一看教师素养”
|
通过你说题时内蕴的数学素养,看你外显的教师素养.我们不追求“太语文”,而是追求“很数学！”
|
