谈求二面角大小的法向量法
2008-01-17 16:35阅读：
谈求二面角大小的法向量法
数学通讯2005第14期
我们易求得一平面的法向量,但不知它的确切方向,怎样确定呢？
设点A、B分别是平面 内、外的点, 是平面 的法向量,
当 >0
则 的方向向上。(如图) 当 <0
则
的方向向下。(如图)
在利用平面的法向量求二面角大小时,一个二面角的平面角 与这个二面角的两个半平面的法向量 、 所成的角相等( )或互补( -
)。到底是相等还是互补,在具体解题时,不少参考资料往往凭感觉推断二面角的平面角是锐角还是钝角,进而得出二面角的平面角为 或 -
。但是,有时凭感觉推断二面角的平面角的大小程度非常困难,下面是解决上述问题的方法。
设A、B分别是平面 上的点,且都不在平面 交线上,
、、、 分别是 的法向量, 为平面
的平面角。
⑴当 >0, >0, 得
、、、 的方向如图。 则 =
⑵当 <0, <0, 得
、、、 的方向如图。 则 =
⑶当 >0, <0, 得
、、、 的方向如图。 则 = -
⑷当 <0, >0 , 得
、、、 的方向如图。 则 = -
综上所述, 当
、 值的符号相同, 则二面角的平面角为
当
、 的值符号相异, 则二面角的平面角为 - 。 举例,
(2004黑龙江高考题)如图，直三棱柱ABC—A
1B
1C
1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
，侧棱AA
1=1，侧面AA
1B
1B的两条对角线交点为D，B
1C
1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B
1BD与面CBD所成二面角的大小.
第二问 以C为原点建立坐标系.
C (0,0,0),B（ ，0，0），B
1（ ，1，0），A
1（0，1，1），
A (0,0,1)
则 =(- ,1,1), =( ，0，0), =( ，1，0), = （0，1，0）
设平面BCD的法向量 =(x,y,z)
∴
=0
∴
x=0
令y=1∴ =（0，1，-1）
=0
-
x+y+z=0
同理设平面B D 的法向量 =(x,y,z)
∴ =0
∴- x+y+z=0
令x=1∴ =（1，0， ）
=0
y=0
∴ COS< , >= =
在平面B
1BD与平面CBD上各取一点(且都不在两平面交线上)C、
∵ = >0
=1>0
、
的值符号相同
则所求二面角的平面角为 =arcos( )=
