小学数学中20个易混概念辨析
2020-02-18 15:09阅读：
小学数学中20个易混概念辨析
小学数学概念是构成小学数学基础知识的重要内容，其中，有一些意义相近却不尽相同、互有联系又有所区别的概念，较易混淆。在教学中,应注意辨析它们的异同,把每一个概念区别于其他概念的本质特征突出出来,以利于学生清晰地理解、牢固地掌握、准确地运用。
数学基础知识有：概念、法则、定理、性质。
一、数学概念及其表现形式
（一）数学概念
数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。判断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学的细胞。
判断、推理、证明都基于对概念的理解。
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。
本质属性：世界上的万事万物都有许多的性质，如形状、颜色、气味等。一个事物除了有许多性质外，还与其他事物间存在各种关系，如，上下、左右、大于、小于、胜负、平等、互助等等，在形式逻辑中把事物的性质和关系，统称为事物的属性。任何事物都有许多的属性，在事物的诸多属性中，有些属性是某个或某类事物所特有的，决定该事物的本质，使某一事物之所以成为它自己，并把这种事物与其他事物区别开来。这种事物的基本属性就是事物的本质属性，它是事物本质
的规定性。
（二）小学数学概念的表现形式
在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示形式。
1．定义式
定义式是用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。
概念的内涵是指概念所反映对象的特性和本质属性，外延是指概念所反映对象的具体范围。
如：两组对边分别平行叫的四边形做平行四边形。
（比如：平行四边形的定义，首先它是“四边形”，条件是“两组对边分别平行”．“平行四边形”的内涵包含了“四边形”所有的内涵，而“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性．因此，教学中，教师只要抓住四边形的概念和两组对边分别平行，引导学生思考“一个四边形具备了什么特征才是平行四边形”，就可以自然地使学生建立起对新概念“平行四边形”的本质属性的理解．那么，平行四边形的内涵（也就是它的特性和本质属性）是什么呢？两组对边分别平行且相等，对角相等，邻角相等等等。它的外延是什么呢？具有平行四边形本质属性的所有对象，如：大小不同的平行四边形、长方形、正方形、菱形（后面这几是特殊的平行四边形）。
另外，概念的内涵越多，则外延越小；内涵越小，则外延越大。如，我们来给“平行四边形”的概念增加内涵看看，如果增加“有一个角为直角”的话，就可以得到“长方形”
的概念，那么再增加一个内涵“邻边相等”，又可以得到“正方形”的概念．“平行四边形”概念的教学，为后续概念的学习，奠定了基础．如果在“平行四边形”的概念的内涵中减少“两组对边平行”的属性，就得到了外延扩大的“四边形”的概念了。
可见，从数学知识发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的从属关系，形成明晰的知识结构，并清晰地认识到学习“平行四边形”概念的“合理性”．
概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念所反映的事物是什么样的．“平行四边形”的含义是：两组对边分别平行，这就是“平行四边形”的内涵．它揭示了“平行四边形”与“四边形”的隶属关系，以及它们之间的区别与联系，反映了“平行四边形“的本质属性．其中的关键词“两组对边分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质．）
2．描述式
用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”（这里是例举数数时的自然数，并不是没有例举到的0不是自然数，0是自然数的）；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善。
在小学数学教材中一般用于以下两种情况：
一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“线段”这一概念，教材是这样描述的：一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。
另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。
一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。如角，静态描述：具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。而动态的定义“一条射线绕着它的端点旋转而成”只是通过“活动角模型”的演示来感受，因而也不研究大于周角的角及“优角”。（小学数学分阶段认识，以认识角为例来说，我们以小学二年级认识角来说，小学二年级学生的认识水平比较低，初步认识角是这样的:角有一个顶点，有两条边，这时并没有给角下一个定义，然后学生也认识直角，也认识锐角，也认识钝角，但是，有没有提到角的分类？没有，为什么呢？这个时候，你让他准确地去描述锐角是什么角，直角是什么角？他还没有学那个角的度数，他是无法描述的，只能在具体的那个角里认识，这样的角是直角，这个角比直角小，就是锐角，这个角比直角大，就是钝角，这个时候还没有讲00——900之间的角，是没有下这样的定义的，到四年级这些问题是迎刃而解，这就是分阶段认识，它是按儿童的认识特征进行的编排规律。）
二、小学数学中易混概念
思考：小学数学中有哪些常用概念？
数与代数；空间与图形；统计与概率。
1、数与数字
数字是用来记数的符号。
常用的数字有中国数字、阿拉伯数字（0-9）（10个）；
数：是表示事物的量的基本数学概念,例如自然数、整数、分数、有理数等。
数和数字是两个不同的概念，数字仅仅是一种符号，只有用它来表示数时，才具有某种特定的含义。教学时要正确使用这两个概念，如3+2=5不能说是3和2两个数字相加；十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加。
数和数字有区别，又有联系：
A、写数时，离不开数字；
B、用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则。（数字是有限的0－9，数是由数字组成的，如10，数字1在十位上，数字0在个位上，形成数10.）
C、不同的记数系统可以使用相同的数字，比如，十进制和二进制都会用到数字“0”和“1”。
2、质数与互质数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
质数是针对一个数而言,如5是质数,互质数是针对两个数来说的,如3和4是互质数,8和9是互质数,成为互质数的两个数不一定都是质数。
如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
3、圆和圆面
大家想一想在教学圆的时候，是怎样出示圆的图形给学生的？大多数老师拿一个圆形的纸片，告诉学生这就是圆，但是实际上给学生出示的是一个圆面。
而圆是在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（即通常所说的圆周）；圆周所包含的平面部分叫做圆面。
（圆上是指哪个部分？也就圆周上的点。圆面上通常又叫做圆内，外面部分叫做圆外。在教学中应注意圆上、圆内、圆外之间的区别）
4、最小的一位数是0还是1？
这个问题在很长一段时间存在争论。
先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位数。
5、为什么0也是自然数?
课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
5.1“0”作为自然数的“好处”。
众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。
5.2把“0”作为自然数，不会影响自然数的 “运算功能”。
“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。
所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。
6、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？
“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。例如：
加法“２＋３＝５”，其逆算为“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆运算只有减法；
减法“５－２＝３”，其逆算有 “５－３＝２”，
“２＋３＝５”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。
综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。
同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。
7、为什么不写“倍”？
在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多小朋友会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？
我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。如：12只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示12里面有4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写“倍”，以免“倍”与单位名称发生混淆。
8、“倍”和“倍数”的区别
在第一学段我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”，而在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？
“倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为“10×3=30”或者“30÷10=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。
“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。
同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以从这个角度来说，“倍”的涵义应宽泛于“倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。
9、“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？
首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情况下，可以省略）。这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。
由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行教材作了如下处理：
9．1当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如：
超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字）
9．2在用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆，则在“时”的前面加上一个“小”字。例如：
超市营业时间12小时。
9．3在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如：
公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。
10、“改写”和“省略”是一样的吗？
先来看的教材例题截图（人教版小学数学第七册22页）。
从形式上看，此例将“改写”与“省略”两种对数的变化置于了同一个要求之下（即改写成用“亿”作单位的数）。我们真希望编者不是有意而为之，因为“改写”与“省略”其本质是完全不同的。表现在：
10.1目的不同。“改写”的目的是方便对大数的读写，而“省略”则是取数的近似值。
10.2方法不同。此处的“改写”是去掉“亿”位后面的0，再写上一个“亿”字，而“省略”除了要找准“亿”位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。
10.3符号不同。“改写”只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以用“=”号连接；而“省略”既改变了数的形式，又改变的数的大小，所以用“≈”连接。
11、“路程”就是“距离”吗？
这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。
“路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而“距离”则指连接两个地点而成的直线段的长度。如下图：
可以看到，“路程”所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。
虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开”极限”寻找能为小学生所理解和接受的证明途径，我想至少可以考虑几下几种方法：
12、最大的分数单位是1/2还是1/1？
先看看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。
显然，在分数意义中，关键是“分”，没有“分”，就没有“份”。因为把单位“1”平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓“分”），由此得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。
尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。
13、像
0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?
分数的定义明确告诉我们:把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。
进而，在考查学生对“分数”涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如“分数都大于0”等命题的真与假陷入尴尬。
14、比6多1/2的数”应该是“6+1/2”还是“6+（1+1/2）”？
要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。显然，此处的“6”其实质是一个“数”，而非一个“量”，求“比6多1/2的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴，问题中的“多几”都是确定的具体数，这里的“几”既可以是整数，也可以是小数或分数。所以，这里的“1/2”是指在6的基础上“多1/2”这个“1/2”数的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的数”应该是“6+1/2”。
当然，如果题目确定为“比6多它的1/2的数”，那答案则属于后者。
15、计算出勤率可不可以不乘100%？
先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。（截图为相关例题的解答部分）
同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑：到底可不可以不乘100%呢？笔者以为，求“××率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数／应出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几”），并不是百分数。因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中，都应乘“１００％”。同时建议各版本教材的编委统一思想，以免给一线教师造成认识上的混乱。
16、 分母是100的分数叫做百分数。（ ×
）
我们不能用“分母是100的分数叫做百分数”来定义百分数。因为分数既可以表示具体的数量，也可以表示两个数的倍数关系。而百分数只能表示两个数之间的倍比关系。
任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。
百分数的分母是100。（ ）
17、“整除”与“除尽”
整除与除尽既有区别又有联系。
除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。
因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。
除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。
它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
１8、小于９０度的角都是锐角吗？
根据课标教材定义：小于９０度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：０度的角是什么角，也是锐角吗？
事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上，我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。
由此，严格意义上的锐角定义应是：大于０度而小于９０度的角叫做锐角。（建议教材作出修改）
１9、足球比赛记分牌上的“３︰２”是数学中的“比”吗？
我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。
第一，
球类比赛中的“３︰２”表示的是比赛双方的得分情况，是“差”比，即表示相差关系，一方得３分，另一方得２分，双方相差１分；数学中的“３︰２”表示的是“３÷２”，是“倍”比，商为１.5。有鉴于此，球类比赛中的“比”（其实是比分），其后数可以为０的，而数学中的“比”，其后数（相当于除数）是不可以为０的。
第二，数学中的“比”是可以化简的，如“４︰２＝２︰１”；同样的“４︰２”放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。
20、
画对称、旋转、平移、放大和缩小的图形时注意些什么？
（1）、实线和虚线的问题；
（2）、对称轴不是虚线，必须是点划线；
（3）、对应点的表示；
（4）、必须用铅笔作图。
思考与建议
通过以上问题的分析，老师们在实施新课程的过程中，的确可能遇到许多知识性“诘问”。因此，如何尽最大努力减少“诘问”数量，以保证数学教学的科学性就值得我们思考。
1、修改完善教材与教师教学用书
教材与教师用书是广大教师实施新课程所依据的主要文本资源，也是实现课改总体目标的重要保证。于此，被教师们视为“圣经”的教材与教师用书本身应该是高质量的。然而，教材本身存有瑕疵，应在细节上进一步加以推敲。
其次，建议我们平时对本册内容的知识性疑难及背景资料进行相应的收集、整理，并单列板块形成资料库，便于我们应用。
2、加强知识理解，提高教师学科素养
“有效的教学依赖于教师对所教内容的深层含义是否有坚实的理解，良好的教材、软件、教师用书都不能代替高资质的教师。”数学教学的“四基”是否扎实，一个关键的因素便是“教师对数学知识的深刻理解”，只有提高教师对学科知识的理解，进而才能提升学科素养。
