大衍求一术任何一门科学，都有各自的精确度要求。1967年，在第十三届国际计量大会上，规定铯 Cs133原子基态的两个超精细结构能级（ F＝4，mF＝0），（ F＝3，mF＝0）之间的跃迁频率为9192631770赫兹，相应的射线束连续9192631770个周期的时间为一秒。铯频率标准具有准确度高（达10-12量级），稳定度好（10-14量级）的优点。在计时上，天文钟三年差一秒，石英钟三百年差一秒，铯原子钟三百万年差一秒。用铯原子钟计时当然是最好的，不过，对于农业、历史、考古、医药等，用“地球钟”，即误差不大于一日的记时体系就足够了。换句话说，运用干支表示法和中学中常用的计算方法，在误差要求不大于24小时条件下，算历，或者说求朔望（即平朔）和定节气，是不困难的。要作到这点，必须引入大衍求一术：《周易·系辞》云：“大衍之数五十，其用四十有九，分为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。”这里，“四时”，即是冬春夏秋。“象闰”，指回归年和十二个朔望月有十日之差，故累积起来，每  年，即二年多，便有一个闰月。“五岁再闰’，指五年之内，还要再闰第二次。大衍之术，最早何时用于算历，不得而知，但其下限，应在《周易·系辞》成书之前。 |
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取代了算筹。
《数书九章》卷一《古历会积》介绍了大衍求一术的算历过程。下面我们仅借较为简单的《余米推数》来介绍大衍术的原理和运算。在演算中，我们使用阿拉伯数字。
例：今有物不知数，以19除之余1，以17除之余14，以12除之余1，问物几何。
解：设定母为α，有α1＝19，α2＝17，α3＝12
衍母为 M，有
M＝min（α1·α2·α 3……α n）＝ 19 x 17 x 12＝ 3876
有：G1＝ 17 x 12＝ 204
G2＝ 19 x 12＝ 228
G3＝ 19 x 17＝ 323
奇数为gi，gi＝
g1＝14，g2＝7，g3＝11
右上出现l②，所以k3＝11
答：该数是3193
用现代数学表示，则是解一次同余式：
N≡ 1（mod 19），≡14（mod 17），≡ 1（mod 12）
有Gi ≡gi（mod
ai），kiGi≡kiGi（mod
ai）
∴ kigi≡1（mod ai ），
又C1＝g1；C2=g2Cl+l;……;Cn=ki
计算得k1=15，k2＝5，k3＝11
（文科读者如读不懂本节，可以不读，因为在以后的换算中，用不着它。在那里，我们利用了太初年间的观测数据，已将问题简化，已将大衍术从天文历法家手中解放出来，使得它成为每一个只懂四则运算的小学生都可以运算的数学手段了）。
注此文发表在《湘潭师专学报》，自然科学版，1983年1期
②右上出现1是演算结束的充要条件。
“归扐”值为ci，则演算过程中分别为
cl=g1;
c2＝g2cl＋l;
c3=g3c2+c1;
cn= gncn-1 + cn-2
设 l2＝g2， l3＝g3l2＋ l，……， ln＝gnl1＋ln-1
乘率为k1，则有
r1= ai－gigl＝ai -clgi，
r2 ＝gi－r1g2＝gi－（ai－c1gi）g2 ＝c2gi－l2ai，
r3＝r1- r2g3 ＝（ai－c1gi）- （c2gi-l2ai）g2＝l3ai－l3gi
很明显，只有，r2＝ 1，且n为偶数时，才有
rn-1=ln-1ai－cn-1gi; rn=cngi-lnai=1,即
cngi≡l（mod ai），才有cn＝ki，而右上为1是保证n为偶数的充要条件
（未完，待续）
《数书九章》卷一《古历会积》介绍了大衍求一术的算历过程。下面我们仅借较为简单的《余米推数》来介绍大衍术的原理和运算。在演算中，我们使用阿拉伯数字。
例：今有物不知数，以19除之余1，以17除之余14，以12除之余1，问物几何。
解：设定母为α，有α1＝19，α2＝17，α3＝12
衍母为 M，有
M＝min（α1·α2·α 3……α n）＝ 19 x 17 x 12＝ 3876
| 衍数为 Gi, |
Gi= |  |
G2＝ 19 x 12＝ 228
G3＝ 19 x 17＝ 323
奇数为gi，gi＝
g1＝14，g2＝7，g3＝11
| 一、求“以19除之余 1”的乘率K1 | ||
| l、“分为二以象两”；即将奇数g1，定母a1，分别列上下，如右 |
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| 2、“挂一以象三”：左上角加一筹 |
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| 3、“揲之以四，以象四时”，以 14除 19，商添在左下角，余数 5代替被除数 |
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| 4、“归奇于扐以象闰”：将右上方数14除以右下数5，其商乘以左下数 1后，并入左上数1成为3，余数4代替被除数14． |
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| 5、“五年再闰”：将右方两数，展转相除，其商分别依次加到左方上下 两数． |
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| 6、“八年三闰”：右上4除以3（不能除以1，否则右上角不能为1，达不到求一的目的），左下角4乘以除数（注意，不是商数），且并入左上角．右上出现1，所以乘率为左上角之数15． |
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| 二、求“以17除之余14”的乘率 K2 | ||
| l、分为二以象两： |
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| 2、挂一以象三： |
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| 3、揲之以四以象四时 |
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| 4、归奇于扐以象闰：右上方出现1，故乘率k2= 5 |
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| 三、求“以12除之余1”的乘率K3 | ||
| 1、分为二以象两，挂一以象三 |
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| 2、揲之以四，以象四时 |
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| 3、归奇于扐以象闰 |
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右上出现l②，所以k3＝11
| 于是， | 1X 15 X 17 X 12 = 19的倍数 | +1=17的倍数 | =12的倍数 | =3060 |
| 14 x 5 x 19 x 12=19的倍数 | =17的倍数 | +14=12的倍数 | =15960 | |
| +） | 1 X 11 X 17 X 19=19的倍数 | =17的倍数 | =12的倍数 | +1=3553 |
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||||
| 22573 =19的倍数 | +1=17的倍数 | +14=12的倍数 | +1=22573 | |
| —） | 5 X 3876=19的倍数 | =17的倍数 | =12的倍数 | =19380 |
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|
||||
| 3193= 19的倍数 | +1=17的倍数 | +14=12的倍数 | +l=3193 | |
用现代数学表示，则是解一次同余式：
N≡ 1（mod 19），≡14（mod 17），≡ 1（mod 12）
| ki | |
≡l（mod ai） |
| Gi＝ | |
＞ai，gi＜ai， |
∴ kigi≡1（mod ai ），
又C1＝g1；C2=g2Cl+l;……;Cn=ki
计算得k1=15，k2＝5，k3＝11
| 3060 ≡ | 1（mod 19），≡ | 0（mod 17），≡ | 0（mod 12） | |
| 15960≡ | 0（mod 19），≡ | 14（mod17），≡ | 0（mod 12） | |
| +） | 3553≡ | 0（mod 19），≡ | 0（mod 17），≡ | l（mod 12） |
|
|
||||
| 22573≡ | l（mod 19），≡ | 14（mod17），≡ | 1（mod 12） | |
| —） | 19380≡ | 0（mod 19），≡ | 0（mod 17），≡ | 0（mod 12） |
|
|
||||
| 3193≡ | 1（mod 19），≡ | 0（mod 17），≡ | 1（mod 12） | |
注此文发表在《湘潭师专学报》，自然科学版，1983年1期
②右上出现1是演算结束的充要条件。
“归扐”值为ci，则演算过程中分别为
cl=g1;
c2＝g2cl＋l;
c3=g3c2+c1;
cn= gncn-1 + cn-2
设 l2＝g2， l3＝g3l2＋ l，……， ln＝gnl1＋ln-1
乘率为k1，则有
r1= ai－gigl＝ai -clgi，
r2 ＝gi－r1g2＝gi－（ai－c1gi）g2 ＝c2gi－l2ai，
r3＝r1- r2g3 ＝（ai－c1gi）- （c2gi-l2ai）g2＝l3ai－l3gi
很明显，只有，r2＝ 1，且n为偶数时，才有
rn-1=ln-1ai－cn-1gi; rn=cngi-lnai=1,即
cngi≡l（mod ai），才有cn＝ki，而右上为1是保证n为偶数的充要条件
（未完，待续）