示一些实物给学生看,激发学生学习兴趣:(幻灯片演示图片)
在欣赏图片的基础上,教师指出:这些物体都有圆的形象,有共同的特征。在这一章我们将系统研究:什么是圆?圆有哪些性质?(板书课题)
[教法]:通过实物形象的展现给学生,让学生更加具体的发现圆的特征,从而也为教师进一步的引入课程做铺垫。
二、描述圆的发生过程,给出圆的定义
教师提问:同学们,圆是如何形成的呢?你如何完成一个画圆的过程呢?
学生思考,小组讨论。
教师演示:课件“画圆(一)”
教师提问:观察画圆的过程,谁能由此说出圆的形成过程?
学生甲:一条线段绕一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形就是一个圆。
教师:其他同学还有其他的补充吗?
学生乙:还要在一个平面内。
学生丙:线段要绕着固定的一个点才行。
教师:同学们回答的都很好,现在我们就得出圆的定义:
如上图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做
圆(circle)。固定的端点O叫做
圆心(center
of a circle)。线段OA叫做
半径(radius)。
以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,记作“圆O”。
[教法]:教师演示课件,给学生提示圆的形成过程,直观形象,从而引导学生得出圆的定义,在概念的形成过程中,同时也提高了学生自行思考、得出结论的能力。
结合圆的定义,师生共同讨论以下几个问题:(先由学生回答)
(1)篮球是圆吗?太阳是圆吗?
指出:圆必须是“在同一个平面内”。
(2)以3厘米为半径画圆,能画出几个圆?为什么?
无数个,圆心不固定。
(3)以点O为圆心画圆,能画几个圆?为什么?
无数个,半径不定。
强调:圆心是确定圆的位置的,半径是确定一个圆的大小的;一个圆的圆心是唯一的,半径长度是确定的,二者缺一不可;圆是一条封闭的曲线,即是“圆周”而不是“圆面”。
(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?
强调端点意在说明:圆上各点到圆心O(定点)的距离都等于线段OA的长(定长)。如果不是“定长”,就可能得到一个别的图形。
(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?
都在圆上。(可举反例说明,如图2所示的图形都不是圆)
通过(4)、(5)的讨论,师生共同总结出:
(i)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)。
(ii)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。
以上两点体现了“纯粹性”和“完备性”的思想,是圆的本质属性。
三、从学生已有的认知结构引导学生认识圆的有关概念
教师:从现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或是其他性状的可以吗?看下面这幅图:
学生相互讨论,回答。
学生回答:把车轮做成圆形,这样坐车的人会感觉非常的平稳,要是其他的性状,就不这样了。
教师提问:那为什么做成椭圆或者是其他的性状就不平稳了呢?
学生回答:做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变。
教师:这位同学回答的很正确,我们看要真把车轮做成椭圆的会出现什么情况呢?
(演示课件“车轮的性状”)
教师:我们再来一起看圆的其他的一些概念:
1.弦和直径
教师:利用上述图形,连结圆上任意两点,就得到一条线段。
指出:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
2.弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc)。以A、B为端点的弧记作
,读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直线的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆(semi-circle)。
教师演示:课件“等弧”
[教法]:教师结合图形逐个介绍弦、圆弧、弓形、等圆的概念及这些几何元素的表示法。引导学生分析它们之间的区别与联系,
四、概念辨析
1.直径是弦,弦是直径.这句话正确吗?(学生口答并说明理由)
教师强调:直径是弦,但在一般情况下弦不是直径,只有在弦经过圆心时,这弦才叫做直径.
2.半圆是弧吗?弧是不是半圆?(学生口答,并说明理由)
教师强调:半圆是弧,但在一般情况下弧不是半圆,只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆.
3.长度相等的两条弧是等弧吗?为什么?(学生口答)
教师强调:长度相等的弧不一定是等弧,等弧必须是在同圆或等圆中的弧.(教师用两根长度相等的铁丝,变成弧度不同的两条弧加以比较,此难点很容易被突破)
五、应用举例,巩固概念
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆?说出你的理由。
2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
板书设计:
圆(一)
一、导入
3.圆的特性
二、圆
三、圆的相关概念
1.定义
四、概念辨析
2.画圆
五、典例
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第二课时:
教学设计思想:
本节主要讲授的是垂直于弦的直径;首先通过学生都很感兴趣的奇观引入课题,激发学生的兴趣,再通过学生亲自动手实验得出结论,让学生经历了一个探索求知的过程。教学过程中采用了多媒体课件演示的方式,提高学生学习的积极性。
一、提出问题,创设情境
教师:同学们都知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。
观看下面这幅赵州桥的图片:
教师提问:它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
学生思考、相互讨论。
[教法]:在学生认知的基础上,带领学生做好学习新知识的准备并引入新课。
二、引入新课,揭示猜想
教师活动:同学们,我们先从实验入手,进行猜想得出结论:
实验:用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,看看你都能发现什么?由此得出什么结论?
[教法]:教师引导学生实验,运用教具和学具(学生准备好的圆形纸片)演示,让每个学生都动手操作,观察实验,引发学生思考。
通过实验,学生相互发表自己得出的结论:
(1)圆是轴对称图形。(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。(3)圆的对称轴有无数条。
教师演示:课件“圆的折叠与旋转”
通过实验、教具演示,教师得出结论:
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
教师提问:通过上面的实验我们得出结论,知道圆的特征,现在通过所学的知识思考下面的问题。
如图24.1-7,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。
(1)图24.1-7是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
学生思考,相互讨论。
学生甲回答:连接OA、OB,垂直于弦AB的直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴。
学生乙回答:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合, 、 分别与 、 重合。
教师:回答的都很正确,我们来看动画演示(课件“思考题”)
得到:AE=BE, = , = 。即直径CD平分弦AB,并且平分 及 。
教师得出结论:
(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
[教法]:教师采用提问的方式,检查学生对所学知识的掌握情况。
三、定理应用,解决情境问题
教师提问:这堂课我们学了这么多的知识,再回头看刚开始提出的问题,大家知道如何解答了吗?
师生互动,解决问题。
如下图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R。
经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与 相交于点C,根据前面的结论,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高。
在上图中,
AB=37.4,CD=7.2,
AD= AB= ×37.4=18.7,
OD=OC-CD=R-7.2。
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
即
。
解得
R≈27.9(m)。
因此,赵州桥的主拱桥半径约为27.9m。
四、课堂练习
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
2.如图,在⊙O中,AB、AC为相互垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形。
板书设计:
圆(二)
一、问题
三、实验,揭示猜想
解答:
结论:
二、圆
圆是轴对称图形,任何一条直线 四、练习
都是它的对称轴。
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第三课时:
教学设计思想:
本节课主要讲授的是弧、弦和圆心角的关系。通过师生共同探讨,合作探究,得出弧、弦和圆心角之间的关系,再通过例题加以巩固。在教学过程中,以多媒体辅助教学,提高学生的学习兴趣。
一、复习回顾
1.什么是圆,圆都有哪些性质呢?
2.弧的定义?弦的定义?
二、新课引入,探究新知
教师:首先我们先来学习一个新的概念——圆心角(central angle)。把顶点在圆心的角叫做圆心角。如下图中的∠AOB和∠
。
教师提问:如上图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
[教法]:教师引导学生思考,探究。
学生思考,回答。
学生甲:根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ 的位置时,显然∠AOB=∠ ,射线OA与 重合,射线OB与
重合。
学生乙:同圆的半径相等,OA= ,OB= ,点A与 重合,点B与 重合。
教师活动:学生回答的都很好,很正确。
教师演示:课件“弧的比较”。
教师得出结论:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弧也相等。
同样,还得到:
(1)
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等。
(2)
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。
三、例题精析
例1:如图,在⊙0中, ,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC。
证明:∵AB=AC,△ABC是等腰三角形。
又∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB= BC=CA。
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC。
四、课堂练习
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦。
(1)如果AB=CD,那么_____,_________。
(2)如果 ,那么_______,_________。
(3)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠COD=35°,求∠AOE的度数。
板书设计:
圆(三)
一、复习
定理:
二、新知
圆心角:
三、例题
问题:
四、练习
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第四课时:
教学设计思想:
本堂课主要讲授圆心角与圆周角之间的关系、圆周角的定理和推论及其应用。教学过程中,要让学生学好基础知识,掌握基本概念、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力。
一、复习提问
(1)什么是圆心角?
学生回答:顶点在圆心的角叫圆心角。
(2)圆心角的度数定理是什么?
学生回答:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
二、创设情境,引出圆周角的定义
图24.1-11是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗外的海洋动物。
教师提问:同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?
学生相互讨论、思考。
教师活动:首先,我们先来介绍个概念——圆周角。
我们把像图24.1-11中的∠ACB、∠ADB和∠AEB这样的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做
圆周角(angle in a
segment)。
教师演示:课件“认识圆周角(一)”
[教法]:教师直接把概念介绍给学生,并通过动画形象的给学生展示,为下面解决问题作铺垫。
三、探索新知
教师:现在我们学了什么是圆周角,那它跟我们以前学过的圆心角有什么联系和区别呢?
教师活动,出示下面的问题:
活动一:
分别量一下图24.1-12中
所对的两个圆周角的度数,比较一下,再变动点C在圆周上的位置,圆周角的度数有没有变化?你能发现什么规律吗?
再分别量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数,比较一下,你有什么发现呢?
学生拿学具自己操作,测量角的大小,教师巡视。
学生回答:∠C和∠D的度数相等;∠C=∠D是∠O的一半。
教师演示:课件“圆周角和圆心角的关系”
教师总结:
同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
[教法]:让学生自己动手操作,测量角的度数,开动脑筋,观察实验结果,得出结论。
活动二:
为了进一步探索上面的问题,如图24.1-13,在⊙O任取一个圆周角∠BAC,将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A。
由于点A的位置的取法可能不同,这时折痕可能会:
(1)在圆周角的一条边上;
(2)在圆周角的内部;
(3)在圆周角的外部。
拿第(1)种情况分析:
∵OA=OC,
∴∠A=∠C。
又∠BOC=∠A+∠C;
∴∠BOC=2∠A,
即∠A= ∠BOC。
对于(2)、(3)种情况,也可以得出类似的结论。
教师总结:
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
进一步得到推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。(如图24.1-14)
教师演示:课件“圆周角定理得推论”
教师留给学生思考的问题:
在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
[教法]:通过探知,知道圆周角定理和推论,教师提出问题,使学生在学习知识的基础上继续探索。
四、典型例题
例2:如图24.1-15,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长。
解:∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中,
BC= = =8。
∵CD平分∠ACB,
∴ 。
∴AD=BD。
又在Rt△ABD中,
,
∴AD=BD= AB= ×10=5 (cm)。
五、课堂练习
1.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
2.如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多少种方法?与同学交流一下。
3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
板书设计:
圆(四)
一、复习
三、探索新知
圆心角
定理:
推论:
二、情境导入
四、例题
圆周角的定义:
五、练习
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