数学：欧几里德证法

2008-10-02 10:34阅读：

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众所周知，在欧几里得之前，毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩，因此，欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人。然而，我们下面看到的证明为他赢得了声誉，许多人都相信，这一证明最初是由欧几里得作出的。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精练；毕竟，欧几里得为作出证明，只能依赖他的公设、公理和最初的46个命题，可谓捉襟见肘。我们不妨考虑一下他尚未涉及的几何论题：他以前唯一探讨过的四边形是平行四边形；对于圆，基本上尚未探索；而对于特别重要的相似性，则直到第六篇才开始阐述。虽然可以确信，如果应用相似三角形，可以对毕达哥拉斯定理作出非常简短的证明，但是，欧几里得不愿把这一重要命题的证明推迟到第六篇以后进行。显然，他希望尽可能早地直接涉及毕达哥拉斯定理，因此，他创立了一个证明，并以此作为《原本》的第47个命题。从这个命题中，我们可以看到，在此之前的许多命题都指向了伟大的毕达哥拉斯定理，因此，我们可以说第47命题堪称第一篇的高潮。
在我们详细介绍欧几里得的证明之前，我们不妨先来看一看用欧几里得语言阐述的这个命题，从中可以窥见其论证方法之巧妙。
命题I.47 在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两个直角边上的正方形面积之和。
请注意，欧几里得的命题不是关于代数方程式a²=b²

＋c²，而是述及了一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。欧几里得必须证明，以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积（见图2.14）。为证明这一点，他采用了一个非常奇妙的方法，从直角顶点开始作线段AL，使之与大正方形的边平行，并将大正方形分割为两个矩形。现在，欧几里得只要证明左边矩形（即以B和L为对角的矩形）的面积等于以AB为边的正方形面积；同样，右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出，两个矩形面积之和等于大正方形面积，同样也就等于两个小正方形面积之和。
这一普通方法非常巧妙，但还需要补充一些细节。幸好，欧几里得在他的早期命题中已完成了全部准备工作，因此，现在的问题是如何将它们谨慎地组合起来。
证明根据假设，欧几里得已知∠BAC是直角。他应用命题I.46，在三条边上作正方形，并应用命题I.31，过A点作AL平行于BD，然后，连接AD与FC。初看起来，这些辅助线似乎显得很神秘，但它们很快就会变得浅显易懂了。
对于欧几里得来说，关键的问题是要证明CA与AG在同一条直线上。欧几里得指明，根据正方形作图，∠GAB为直角，而根据假设，∠BAC也是直角。由于这两个角的和等于两个直角，命题I.14保证了GAC是一条直线。有趣的是，在这一显然只涉及到很少的技术性问题的证明中，欧几里得唯一一次应用了∠BAC是直角这一事实。
现在，欧几里得开始将目光转向两个细长的三角形ABD和FBC。这两个三角形的短边（分别为AB和FB）相等，因为它们是一个正方形的两条边；同理，两个三角形的长边（BD和BC）也相等。那么，它们的对应夹角是否相等呢？由于∠ABD是∠ABC与正方形直角∠CBD之和，而∠FBC是∠ABC与正方形直角∠FBA之和。公设4规定，所有直角都相等。公理2则保证了等量之和相等。因此，∠ABD=∠FBC。根据“边角边”定理（即命题I.4），欧几里得证明狭长三角形ABD与FBC全等；因此，这两个三角形的面积相等。
到目前为止，一切顺利。接着，欧几里得指明，△ABD与矩形BDLM具有同一条边BD，并且，位于同两条平行线（BD与AL）之间。因此，根据命题I.41，BDLM的面积等于△ABD面积的2倍。同样，△FBC与正方形ABFG也具有同一条边BF。并且，欧几里得已证明GAC是一条直线，因此，△FBC与正方形ABFG也同位于平行线BF与GC之间；根据命题I.41，正方形ABFG的面积也等于△FBC面积的2倍。
欧几里得综合这些结果和先前证明的三角形全等，得出：
面积（矩形BDLM）=2面积（△ABD）
=2面积（△FBC）
=面积（正方形ABFG）
至此，欧几里得完成了一半使命。下一步，他需证明矩形CELM的面积等于正方形ACKH的面积。对此，他可以用同样的方法证明。首先，连接AE与BK，然后，证明BAH是一条直线，并根据“边角边”定理，证明△ACE与△BCK全等。最后，引用命题
I.41，欧几里得推论：
面积（矩形CELM）=2面积（△ACE）
=2面积（△BCK）
=面积（正方形ACKH）
至此，毕达哥拉斯定理呼之欲出，因为：
面积（正方形BCED）
=面积（矩形BDLM）+面积（矩形CELM）
=面积（正方形ABFG）+面积（正方形ACKH）。证讫。
数学 <wbr>：欧几里德证法

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至此，欧几里得完成了数学中最重要的证明之一，而他所应用的图形（图2.14）也因此成为了非常著名的图形。人们常常称欧几里得的图形为“风车”，因为它的外形看起来很像风车。从附图中我们可以看到1566年版《原本》所刊载的“风车”图形，图中的文字为拉丁文。显然，400多年前的学生便已开始研究这一图形，犹如我们刚才所做的那样。
当然，欧几里得的证明并不是证明毕达哥拉斯定理的唯一方法。实际上，证明方法有数百种之多，有的非常巧妙，有的极其平庸。（其中包括俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德的证明，他后来成为美国总统。）读者如果对其他证明方法感兴趣，可以参考E.S.卢米斯所著《毕达哥拉斯命题》一书，其中收录了对这一著名定理的千百种证明方法，令人眼花缭乱。
虽然命题I.47标志了第一篇的高潮，但欧几里得还有最后一个命题要证明，这就是毕达哥拉斯定理的逆定理。欧几里得对这一逆定理的证明，其巧妙和精练，依然是显而易见的。但遗憾的是，这一证明本该同样著名，却始终湮没不彰。实际上，大多数学生在其一生中，总会在某一时刻见到过对毕达哥拉斯定理的证明，但是见过对其逆定理证明的人就少得多，即使见到，也不敢肯定其正确性。
欧几里得对这一逆定理的证明有两个特点值得我们特别注意。其一是它非常短，将其与我们刚看到的论证相比，则尤其如此。其二是欧几里得在证明这一逆定理时，应用了毕达哥拉斯定理。这种逻辑方法虽然并非没有前例，但至少值得注意。让我们回想一下，欧几里得在证明有关平行线的两个重要命题（命题Ⅰ.27及其逆命题Ⅰ.29）时，并没有用其中一个命题去证明另一个命题。但是，他对毕达哥拉斯逆定理的证明，却将命题Ⅰ.48牢固地建立在命题Ⅰ.47的基础之上，使这两个命题成为一个明确的序列单位。
命题Ⅰ.48 在一个三角形中，如果一边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和，则这两边的夹角是直角。

所示。他必须证明∠BAC是直角。
为此，欧几里得首先根据命题Ⅰ.11，作AE垂直于AC，并交AC于A。

明三角形BAC与DAC全等。

确定的），但根据垂线作图，我们知道∠DAC是直角。因此，欧几里得完全有理由应用毕达哥拉斯定理于直角三角形DAC，并根据假设，推导出

边边”定理，△DAC与△BAC全等。因而，∠BAC与∠DAC也必然全等。而根据作图，后者为直角，所以，∠BAC也是直角。证讫。
命题Ⅰ.47和Ⅰ.48相得益彰，揭示了直角三角形的全部特征。欧几里得表明，一个三角形，如果，也只有当其斜边的平方等于两条侧边的平方和时，这个三角形才是直角三角形。这些证明过去是，现在依然是最佳几何例证。
这两个毕达哥拉斯命题在另一种意义上也是卓越非凡的。欧几里得以一种巧妙的方式证明这两个命题是一回事，而这两个命题是正确的则是另一回事。对于直角三角形与平方和的密切关系，没有直觉的推论。例如，它不像命题Ⅰ.20那样，是一种甚至连驴子都能懂得的不证自明的真理。相反，毕达哥拉斯定理证明了一个非常奇特的事实，其奇特性之所以不被认识，仅仅是因为其结果太著名了。理查德·特鲁多在他的《非欧几里得革命》一书中精彩地描述了毕达哥拉斯定理这种固有的奇特。特鲁多注意到，直角是一种人人都熟悉的日常存在，它不仅存在于人为世界，而且也存在于自然界本身。还有什么能比直角更“普通”或更“自然”的呢？但特鲁多又说：
“毕达哥拉斯定理使我感到非常惊奇……‘a²=b²＋c²’……无论如何引不起我本能的记忆……因为这个方程抽象，精确，异乎寻常。我想象不出这样一种东西与日常生活中所见的直角有什么关系。因此，当偶然揭开‘熟悉’的帘幕，重新审视毕达哥拉斯定理，我不禁感到目瞪口呆。”


结合变形，转动与移动分别证明 A1 = A2 且 A3=A4

课件下载：emcdown.ys168.com

详细介绍：http://www.fshyxx.com/kezu/shuxue/gougu/zhengming/jingdian/01.html

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