谈一谈(jordan)约当(1838-1922）曲线定理
2014-12-26 14:51阅读：2,936
约当曲线在数学证明中及肯普的颜色交换法、还有希伍德图着色的转化等等方面都有重要的应用。
这是与平面图的研究特别有关的拓扑学成果，约当曲线定理。即指一条连续的，自身不相交的起点和终点相重合的曲线。平图的圈中各条边的并集就构成的一条jordan曲线(看下图）。
如果一个图能画在平面上，使得它的边仅在端点相交，则称这个图称为可嵌入平面的。平面图G的这样一种画法G’，可看成与图G是同构的。
V1 o--------------------
| \
intC1(V1V4V2V1)..../|
|...\................../.|
|....\oV4-----------o/V
2|
|intC3\./........ .......|extC
|...../..intC2(V2V4Vv3V2)|
|V3o---------------------|
加载中...
内容加载失败，点击此处重试
平面图的圈V1V2V3V1就是约当曲线。该曲线把平面的剩下部分被分成两个不相交的开集，称为J的内部和外部，分别记为IntJ
和ExtJ,并且用Intj和ExtJ表示他们的闭包。显然IntJ与ExtJ
的并=J，该定理指出：连接intJ的点和extJ的点的任何连线必在某点和J相交。这个定理在直观上是明显的，但他的严格证明却十分困难。
下面谈点应用，证明定理1.
定理1，K5是非平面图。
证明：用反证法。若有可能，设G是对应于K5的一个平图。用V1、V2、V3、V4、和V5表示G的顶点，由于G是完全图，他的任何两个顶点都有一条边相连。圈C=V1V2V3V1是一条J，而
V4必在intc内或者在extc内，假设V4（-intC1(V4(-extC的情形可用类似的方法处理。）这样，边V4V1、V4V2、V4V3把intc分成三个区域（见图）
现在，V5必然在四个区域extC,intC1，intC2、intC3之一。若V5（-extC),由于V4(-intC),根据约当曲线定理推知，边V4V5必然在某一点和C相交。这与G是平面图的假设矛盾。
平面嵌入的概念可以推广到其它曲面上去。
联想到《“四色问题讨论”之三》，那里本人较详细介绍了肖文强教授《数学证明》一书中有关肯普对于四色问题的证明；其中举例的图都是经过仔细核对检查过的。读者大概从别的书也接触到肯普的颜色交换技术。什么是颜色交换技术？那条电接点不存在的路线是怎么得到的？在《趣味的图论问题》一书中又是怎样叙述的？
当已知V的次数为5时，令五点的颜色都互不相同时，为什么要考察由两种颜色构成的点集G’；
在《“四色问题讨论”之三的图3中，为什么没有1至4的两色链（a-c);又为什么没有3至5
的两色链（a-d).要想看明白，心领神会，非得自己下一番苦功夫不可！
亲爱的读者，图论是一门新兴的数学知识，据我所知我们国家的《科学中国人》杂志就没有一位图论方面的专家。
2014-12-27日3时38修改
给此博文留言吧！
有机会上热评榜！
攒金币兑换礼品！
好的评论会让人崇拜发布评论
