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理解约翰∙伯努利证明最速降线方程的方法

2016-09-20 10:18阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1374929720

约翰∙伯努利认为光在“折射率梯度降低介质”中的传播路径，也必定是“质点因重力沿坡下滑”中那个“最快的坡”。
这里的逻辑是这样的：
（1） 光的波动性，决定了光有v1/v2＝sinθ1/ sinθ2（斯涅尔定律）这样一种择向规律。证明如下；
理解约翰∙伯努利证明最速降线方程的方法
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（2） 光的v1/v2＝sinθ1/ sinθ2（斯涅尔定律）
的择向规律，决定了“光径最快”，即“光在两点间传播所选择的路径是用时最少的路径”，证明如下；
理解约翰∙伯努利证明最速降线方程的方法
（3） 如果一个质点从A点到达了B点，光也从A点到达了B点。二者的速度（大小和方向）随位置变化的规律一致，并且实际走的路径也一致，则该路径不仅是光，也是该质点从A到达B的最快路径；
（4） 现在考虑一个因重力沿坡下滑的质点，要从A点到达不在其正下方的B点，当然是有各种可能的坡的，直的、弯的，“这么”弯的、“那么”弯的，由人来选；
（5） 无论什么样的坡，其速度变化规律是：速度大小只和高度有关，即速度大小与“高度降”的平方根成正比（基于能量守恒和势能动能转换规律），方向都是沿着路径的切向；
（6） 现在构建一个光传播系统，该系统中从高向低介质的折射率从大向小，那么由于光传播速度只取决于折射率，而折射率在这种“折射率梯度降低介质”中只取决于高度，因此光如果从A点到达了B点，则同样有：速度大小只取决于高度，方向都是沿着路径的切向；
（7） 基于（3），光径必定也是下滑质点的最快的坡；
（8） 基于“速度大小只取决于高度、方向沿路径切向”和“v1/v2＝sinθ1/ sinθ2”，足以推导出路径方程符合摆线方程。
强调一点：当你为下滑质点模拟好了光径，也就约束了它遵守“v1/v2＝sinθ1/ sinθ2”。

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