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如何教会学生思考数学?

2021-05-03 05:33阅读:

清风冷月微博

山东省禹城市十里望乡中学 主任

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如何教会学生思考数学,来自数学大师的启示
来自:老张教育新思享
如何教会学生思考数学?
你是否有这样的一个体会:一道题,自己总也想不出解法,而当我们去问其他学生或者老师时,他们却能快速给出了一个巧妙的解法,这时候我们会想“这个解法并不难时,这种类型我之前也见过,我自己完全可以想出,但为什么我没有想到呢?”还有“别人是怎么想出这个解法的?”
在老师上课的时候,为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案,总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢?
这是因为学生不懂得思考的方法,大多数老师讲题总是“头痛医头,脚痛医脚”,只有实战经验,没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目,而是面对任何一道题目时的思维方法。其实波利亚早已系统告诫我们了。
波利亚·哲尔吉(1887一1985),著名匈牙利裔美国数学家和数学教育家。他在大量的数学范畴工作,包括级数、数论、组合数学和机率;同时,他长期从事数学教育,对数学思维的普遍规律有深入的研究。
如何教会学生思考数学?
曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等,它们被译成多种文字,广为流传。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力,教会学生思考。
当代数学家N. G、德布鲁因(de Bruijn)这样评价他:“波利亚是对我的数学活动影响最大的数学家。他的所有研究都体现出使人愉快的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法论、简捷的手段、有力的结果。如果有人问我,想成为什么样的数学家,我会毫不迟疑地回答:波利亚。
01、波利亚的数学教育思想概述
波利亚认为,中学数学教育的根本目
的是“教会学生思考”。关于数学发明或者发现的方法,它直接指向数学发明或者发现的过程,探究这一过程中的智力活动的一般规律。
技能与技巧、有益的思考方式、理想的思维习惯。
教师在教学时遵循教学(学习)过程的三个原则,即主动学习,最佳动机,循序渐进。我们需要思考并借鉴的是:
(1)如果头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西,所以波利亚的“主动”、“被动”,其实主要是指思维是否活动起来。现在不少学生的学习,还处在模仿水平和记忆水平上,很少达到理解水平,更难达到创造性的水平。教学中,要充分激发学生思维,追求学生思维参与的广度和深度。
(2)“学东西的最好途径是亲自去发现它”,这就是说最富有成效的学习是学生自己去探索、去发现。
(3)学习动机的形成有各种各样的原因,其中,最为重要的是学生“在学习中寻求欢乐”,也就是要充分地关注学生成功的体验、对数学知识本身的内在兴趣。
波利亚认为学习的三原则同时也是教学的三原则,教师的作用应由传统的传递知识转向推动和促进学生主动学习。与此相应,教师应采用启发式教学法,充当思想的产婆,激发、诱导学生去积极思维,促使他们尽可能地自己去发现。
波利亚曾为中学数学教师开办进修班,他在了解到中学教师需要一个对日常教学直接有所助益的课程。在该课程中,他一再地强调他个人对教师日常工作的看法,最后归纳浓缩成十条规则,亦即他所谓的「十诫」:
(1)要对你讲的课题有兴趣;
(2)要懂得你讲的课题;
(3)要懂得学习的途径,学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现;(4)要观察你的学生的脸色,弄清楚他们的期望和困难,把自己置身于他们之中;
(5)不仅要教给他们知识,并且要教给他们“才智”,思维的方式,有条不亲的工作习惯;
(6)要让他们学习猜测;(7)要让他们学习证明;
(8)要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征-即设法去揭示隐藏在眼前具体情形中的一般模型;
(9)不要立即吐露你的全部秘密--让学生在你说出来之前先去猜-尽量让他们自己去找出来;
(10)要建议,不要强迫别人去接受。
波利亚对教师的这十诫,对我们数学课堂教学极具指导意义。我们说,学习是学习者自己的体验与感受,是任何其他人都代替不了的。课堂上,教师就要时时考虑:如何提供学生感兴趣的学习材料,激发他们的好奇心和求知欲,使学生保持旺盛的学习动力;如何把学生“卷”入到教学活动中来,用他们自己的理解方式和思维方式去学习数学,去体验数学,而教师重在启发、引导和帮助,等等。
因此,波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎推理,也教非正规的似真的合情推理。
他指出:“第一,我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考’或‘有意义的思考’或‘有成果的思考’;
第二,数学思考不是完全‘正规的’,它不仅涉及到公理、定义和严格证明,而且还包含许多别的方面:从观察到的情况得出结论、归纳推理、类比推理。在具体情况里辨认数学概念或从具体情况进行数学抽象。数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的‘非正规的’思想方法。”
在培养学生的独立思考能力方面,波利亚特别注重“思想应该在学生的头脑中产生出来,而教师仅仅应起一个助产婆的作用”,他认为最适宜的教学形式是“苏格拉底问答法”,并倡导了探索式教学法或启发式教学法,认为在教学中最佳的方法就是多问:什么?为什么?哪里?何时与怎样?
波利亚在他长期教学经验的基础上,结合心理学研究的成果,总结出了一套怎样提问,怎样掌握提问的最佳时机和方式等的方法。
他认为,提问应从“一般化的问题和建议开始,逐步转向更特殊更具体的问题和建议,直到学生的头脑中得出答案为止”,“要让学生感受到某种近似于独立探索的体验”。
02怎样解题
美国著名数学家哈尔莫斯曾说过:“数学的真正组成部分是问题和解”。
波利亚也曾指出:“问题是数学的心脏”,“学习数学就意味着掌握解题”。并强调指出“中学数学教学的首要任务是加强解题能力的训练”。
怎样要学会解题?解题的关键在哪里?难点在哪里?怎样抓住问题的本质,直取核心?怎样突破难点,走出瓶颈?这是每个解题者必须面对的问题。
波利亚的数学教育宗旨是“教会年轻人去思考”,阐述他思想的一些世界数学名著被译成了多国文字,其中《怎样解题》一书被译成了十六种文字。
直到今天,该书仍被各国数学教育界奉为经典,波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜,在全世界广为流传。
波利亚在《怎样解题》第一版序言中指出:“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但它也是别的什么东西。用欧几里德方式提出来的数学看来像一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学
这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生、教师自己或公众。”
在学生解题的过程中,“如果学生有进展,教师就不应该问他任何问题,以便让他独立思考;当学生停滞不前,教师就可以找一个适当的问题或建议去帮助他”,而这种帮助应尽量顺乎自然,照顾学生的自尊心,并且这种帮助要适中,帮助太少,问题仍将一无进展,帮助过头,则学生就失去了在自己求解中学习的机会,也使他们失去了品尝自己想出“好念头”的乐趣。
波利亚特别反对提那些“针对性太强的建议”,因为,那将使学生失去积极思考的机会。
波利亚把教会学生解题看作是教会学生思考,培养他们独立探索的一条有效途径。但他认为,一个学生要真正学会解题则必须“观察、模仿他人惯,才能真正学会应该怎样思考问题和解决问题,才能学到解题的方法。
波利亚把教会学生去猜想作为培养学生创造能力的一种得力手段。因为一个合情合理的猜想并不是幻想,它需要敏锐的观察能力,深厚的知识功底和积极并富有想象和创造性的思维活动,证明往往是由猜想发现的,猜想往往就是论证推理的先导。
为了贯彻他的教育宗旨,培养学生独立思考、独立研究和创新的能力,
如何改变目前绝大多数学生只会套用模式解题,对背景稍新的问题束手无策的现状?
波利亚在多年解题和教学经验的基础上提出了著名的“怎样解题”表,将解题过程分为四个阶段。
在这四个阶段中“执行计划”较为容易的,需要的只是解题者的耐心和认真;“弄清问题”则是成功解决问题的前提;“回顾”是最容易忽视的一个环节,通过回顾反思所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路,解题者,可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力,进一步形成认知能力.“拟定计划”才是解决问题的关键所在.
波利亚相信,解题时只要按这四个步骤去做,必能成功.同学们如果能在平时的学习中不断实践和体会改变,也会发出和波利亚一样的感叹:“学数学是一种乐趣!”
对怎样解题,笔者尤其感慨的是:
1.波利亚主张”不断地变换你的问题”。”
我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到有用的东西为止”。不断地变更问题,直到它变得易于解决,这是不难体会最朴素最有效的解题的常用方法。
2.数学思想方法的魅力,波利亚说:“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路。”
让学生积极主动地经历知识的形成过程,并逐步体验、感悟到知识背后所承载的方法、所蕴涵的思想,学生的头脑中就能留下数学思想及数学思想方法的相关印记,日积月累,这印记便能渐渐明晰起来,并受益终身。
03解题其实也是一种创造
当找到一个方法解决了一道题目,我们同时也应该思考 “你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?”
有时我们要举一反三,改造一道题目。基本的方法有:普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。
记得上大学的时候修了抽象代数这一门课程,它蕴含了丰富的数学思想方法(整体化、转化、构造、反证) ,上这门课时,老师讲的都能听懂,课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论,却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳,纵使心中方法无数,下笔也只能低头苦思。
数学家笛卡尔说:“我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解决其他问题。” 多题一解,总结出解决问题的共性规律,找出各种题目有共性的解题思想,数学思想。
联系日常教学,笔者对波利亚怎样解题的理论受益匪浅,认为有两点是值得注意的:
教学中要减少程式化的机械训练,这种训练过多会僵化学生的数学思维。
教师要教过程,要注重概念、定理的发生、发展过程,要引导学生注重对通性、通法的体验、思考和感悟,重点是思维的灵活性、应用的广泛性和数学知识的视野,要让学生经历、感悟概念的抽象概括过程、定理结论的探索发现过程、解题方法的总结提炼过程、实际问题数学化的过程等等,在这些过程中,逐渐领悟数学的思想、数学的思维方式、数学的方法,并形成数学的理性精神,真正提高数学素养。
第二,要让学生独立地学习一点新东西;独立地阅读书本,独立做题和独立地研究所做的题,让学生自己思考和感悟;让学生学会:拿到一个有点陌生的或从未见过的问题,如何去理解,如何去思考,如何去研究,如何去找到一个解决办法,找到个好的“念头”,然后将念头一步步具体化,最终找到,个解决问题的方案。并借助对问题解决过程进行反思、总结、引申、提炼,促进和深化知识的理解和方法的领悟。
题目和某种蘑菇有点相似之处:它们都成串生长。找到一个以后,我们应该四处看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的。”
参考文献:杨世明、王雪琴,《数学发现的艺术》

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