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薛定谔方程

2012-01-03 18:10阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1389098592

用波动方程描述电子，从而揭示原子结构

含时薛定谔方程
虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 V(x)\,\! 中的含时薛定谔方程为
- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,\,t)+V(x)\Psi(x,\,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)\,\! ；(1)
其中， m\,\! 是质量， x\,\!
是位置， \Psi(x,\,t)\,\! 是相依于时间 t\,\! 的波函数， \hbar\,\! 是约化普朗克常数， V(x)\,\! 是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 V(\mathbf{r})\,\! 中的含时薛定谔方程为
- \frac{\hbar^2}{2m}abla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t)+V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},\,t)\,\! 。(2)
假若，系统内有 N\,\! 个粒子，则波函数是定义于 3N\,\! -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，
- \hbar^2({abla_1^2\over 2m_1}+{abla_2^2 \over 2m_2} \dots+{abla_N^2\over 2m_N} ) \Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t) + V(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N)\Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t)\,\!
=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t)\,\! 。
其中，波函数 \Psi\,\! 的第 i\,\! 个参数是第 i\,\! 个粒子的位置。所以，第 i\,\! 个粒子的位置是 \mathbf{r}_i\,\! 。
不含时薛定谔方程
不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想 \Psi(x,\,t)\,\! 的函数形式为
\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}\,\! ；
其中， E\,\! 是分离常数， \psi_E(x)\,\! 是对应于 E\,\! 的函数．稍回儿，我们会察觉 E\,\! 就是能量．
代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：
- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) \,\! 。
类似地，方程 (2) 变为
- \frac{\hbar^2}{2m}abla^2\psi_E(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}) \,\!
含时薛定谔方程导引

启发式导引

含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：
假设
(1) 一个粒子的总能量 E\,\! 可以经典地表达为动能 T\,\! 与势能 V\,\! 的和：
E =T+V=\frac{p^2}{2m}+V\,\! ；
其中， p\,\! 是动量， m\,\! 是质量。
特别注意，能量 E\,\! 与动量 p\,\! 也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 E\,\! 与对应的电磁波的频率 f\,\! 成正比：
E = h f=\hbar \omega\,\!
其中， h\,\! 是普朗克常数， \omega = 2\pi f\,\! 是角频率。
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 \Psi\,\! 来表达。粒子的动量 p\,\! 与伴随的波函数的波长 \lambda\,\! 有关：
p=h / \lambda=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k\,\! ；
其中， k = 2\pi / \lambda\,\! 是波数。
用矢量表达， \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\,\! 。

波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：
\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\,\! 。
他想到
\frac{\partial}{\partial t} \Psi = - i\omega \Psi \,\! ，
因此
E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi \,\!

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