一道概率题——怀念美好的数学时光
2012-02-25 23:11阅读：
同学邮件在讨论的这道题，大家已经有多种解法，下面这种解法也许是最简洁的，是现在在香港的叶同学多年后顺便解的。数学似乎离我很远了，这么一道单纯、美丽的题目，让我怀念以前美好的数学时光。贴到博客上，谨作为纪念吧！
问题：任意投n个点在圆周上，问它们同时落在一个半圆上的概率是多少？
解： 用O表圆心，从投下的n个点中，任取一个点作起点，顺时针方向进行编号为P1，P2，. . . P
n ，过P1，P2 . . . P
n作n条半径，用
X1，X2，. . . X
n表相应的圆心角的值。易知有X1，X2，. . . X n > 0
， 且：
X1 + X2 + . . . + X n = 1
（#）
上式中的1表示360
o 。从（#）易知：P1，P2，. . . ，Pn，
同在一个半圆上， 当且仅当（#）式中
有一个Xi
> 1/2（i = 1 ，2，.
. .，n ）。先考虑X1 > 1/2
的概率，为此过P1作直径P1OP，易知此时P2，P3，. . . Pn
都落在顺时针方向的半圆弧PP1上，显然，此事件的概率是1/2n-1；再考虑X2 >
1/2的概率， 过P2作直径P2OP，易知，此时P3，P4，. . . ，Pn， P1都落在顺时针方向的半圆弧POP2上，同样，此事件的概率也是1/2n-1
；. . .
；最后，考虑X
n > 1/2的概率，过Pn作直径PnOP，易知，此时P1，P2，. .
.Pn-1都落在顺时针方向的半圆弧POPn上，此事件的概率也是1/2n-1。注意到以上n个事件相互独立，（因不同的Xi ，Xj >
1/2，导致Xi = Xj = 1/2
，且其它Xk
= 0 ，这是0概率事件，可不考虑）。又注意到以上论证所得结论，与最先取哪一个点为P1无关。所以，n个点落在同一半圆上的总概率是n/2n-1 。
注释：同此题的解法，可将此题推广，并得结论：n个点同时落在一个对应圆心角为X （0< X <
1/2）的弧段上的概率为n/Xn-1 。
