海盗分赃的逻辑和博弈
2015-06-03 13:50阅读：
海盗分赃的逻辑和博弈
前几日在图书馆翻到本闲书，其中有个《海盗分赃》的问题，感觉非常有意思：
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A、B、C、D和E这5个很精明的海盗抢到了100块金币，他们决定一次由5人来分。当由A分时，剩下的海盗表决，如果B、C、D、E4人中有一半以上反对就把A扔下海，然后再由B分……以此类推。但如果有一半及以上的人同意，就按A的分法。
请问A要依次分给B、C、D、E多少金币，磁能不被同伙扔下海并且让自己拿到最多？
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这个问题的有意思之处在于并非如“切蛋糕、分蛋糕”一样简单追求“公平”，而是指向了关于“利益最大化”针锋现对。
试着A的决策分析：
1 逻辑方面：
1.1 目标：
1.1.1
保证自己不能被扔下海；
1.1.2
在第一目标满足的前提下自己能够拿到尽量可能多的金币。
1.2 途径：
1.2.1
要在B、C、D、E4人中争取2人以上对自己的分配方案支持；
1.2.2
要尽量减少为拉拢支持而花费的金币。而毫无疑问有这样一个背景，即：需要拉拢的人越多，需要花费的金币也就越多，因此，A的最佳途径选择是“拉拢2个人”即可，获得3个人或者全部人员的支持明显会造成“浪费”。
1.3 位次：
案例中讨论的是方案“内容”，而不可回避的是，表决的“顺序”（即无人的“位次”）对方案的“内容”造成重大的影响，因为含着这样的逻辑：只有当前一个人的方案不通过，才有可能提交自己的方案（对自身利益最大化的主动维护），同时每否定一个人又会减少一个利益竞争者，所以A、B、C、D、E五个方案被否定的总体“动力”呈递减趋势。
2 博弈方面：
2.1 其他人的决策博弈：
2.1.1
B：
从成本角度看：B对A的方案支持，则需再拉拢C、D、E其中的1人投出相同的赞成票，在此情况下B的收益完全取决A的决策。若B对A的方案反对，则需再拉拢C、D、E其中的2人投出反对票才能达到目的。很明显，“反对”的成本要高于“赞同”。
从收益（风险）角度看：
A的方案如通过，B自然不会面临被扔下海的风险，若A的方案不通过，则自己在有让自己利益最大化的同时也面临极大的风险（自己的方案不通过，被扔下海）。假设到了B的方案进入表决阶段会发生什么事情呢？C、D、E3人中有2人反对B就将面临灭顶之灾。必须对C、D、E会决策进行预判？
2.1.2
C：
从成本角度的看：C的决策表面上看来比较简单，因为C无论是想让B的方案通过还是流产，都只需要再拉拢D、E的其中一人即可。
从收益（风险）角度看：B的方案如通过，C当然不会被扔下海，但其利益也只有完全靠B决定；假设B的方案没有通过呢？C的方案将进入表决环节，根据游戏规则，D、E2人中只要有1人赞同即可通过该方案，反对则需要100%。由于事关性命，C最终的决策，自然要对D、E二人先做分析。
2.1.3
D：
D的决策很简单，假设对C的方案反对，那么自己的方案马上进入表决环节，自己的性命就完全掌握在E一人之手，而E必然会反对（从而将D扔下海，自己独得100枚金币），因此，D实际上只能在AB的方案上有选择的权利。
2.1.4
E：
对于E来说，自己没有被扔进大海的风险，只有想方设法使自己利益最大话的诉求，因此淘汰掉A、B、C、D，使自己独得所有的金币是最优选择。但如要反对A的方案，E需要拉拢“B、C、D”中的两人、支持则只需要拉拢1人；反对和支持B的方案，E都只需要拉拢1人即可；如进入C、D二人的方案表决，由于D必须对于C的方案表示支持（详见D的决策分析），所以实际上D、E方案不会进入表决程序。
2.2 关于决策行为的总结
2.2.1
C方案必定会通过，因为假设C方案被否决，将导致D的方案被E否决（这样E可以得到全部的100枚金币），所以D肯定会对C的方案表示支持，换句话说，C的分配方案理必然是100、0、0。
2.2.2
C必然会对B的方案表示反对。由于C的方案一旦提出可以实现C毫无风险的利益最大化，因此B所要拉拢的对象只是D、E。
2.2.3
B的分配方案是（98、0、1、1），根据前述两条推导，拉拢D、E所需要的最低支出，只要超过他们反对方案的收益（0）便可，即每人1枚金币。
3 结论
基于以上的总结，A的分配方案便呼之欲出：97、0、1、1、1。
3.1
B对A的分配方案必然表示反对。换句话说，除非将金币全部给B（这样A不能避免因C、D、E反对而被扔下海的结局），否则A对B的任何拉拢都是无效。
3.2
C对A的分配方案可能表示赞成，属于可拉拢的对象。因为如果表示反对，万一进入B方案表决时，C的收益将是0。
3.3
D的决策将倾向于同C保持一致。因为对于D来说，在E的方案中根本没自己什么事（2.1.4），D（自己）的方案肯定又通不过（2.1.3），在C的方案中自己收益为0（2.2.1），所以自己在A的方案中的收益不低于B的方案，即可以接受。B已经反对A方案，假设C已反对，预计E将采取“反对”的态度（因为根据2.1.4，剩余的方案越少，对于E来说更有利），在此情况下自己的决策根本不能影响大局。
3.4
E对A的分配方案可能表示赞同，属于可拉拢的对象。对于E来说，由于2.2.1的存在，C的方案定会得到通过，所以只有在A或B的方案中谋取到自己的利益。若A方案不给自己利益，自己还可以在B方案中争取，所以E的决策依据是：不能低于自己在B方案中的收益。
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《海盗分赃》这个问题登在一本我已经忘记了名字的闲书上，貌似是作为“脑筋急转弯”之类收录的。老实说一开始我也没有细想，直接翻了参考答案，倒是答案中的提示“D必然支持C的方案，否则自己将被E扔下海”这一关键点提醒了我，原来这个问题并非“小明的妈妈有三个儿子，大儿子叫大宝、二儿子叫二宝、三儿子叫什么”之类的简单问题，而是需要有严密的论证，因此写了此文。
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比较少关注的一个关键点，是在于“很精明”三字，假设这几个当事人根本没想那么多，或者都是“冲动型决策”，多半前两个人避免不了被扔下海的命运，而当剩余的人没那么多时，譬如只有C、D、E三个人时，才能大家才会学着冷静思考。
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《海盗分赃》其实反映了一种在民主制下社会稀缺资源的分配思路，譬如对于公交站设置、招生名额的争夺，多含着上述的逻辑和博弈，而现实中缺少的，是听证制度和市民、家长表达自身诉求的权利，没有经过充分逻辑论证和利益博弈的结果，自然是有人“被扔下海”（A方案中没有人因金币丧命），这一社会总体利益受损的情况出现。
