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陀螺与单摆……想知道陀螺为什么不倒吗？

2005-11-14 23:38阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1403531820


陀螺一端悬空，却不掉下来，对此现象，经典理论的解释都引用的角动量（动量矩）守恒，或哥氏惯性力及陀螺力矩等，这些解释有一个共同的特点，那就是物理现象必须遵循数学中的矢量叉积规律。矢量叉积（螺旋定则）是人们从实践中（陀螺现象）提炼抽象而来，这或许有自身印证之嫌，也就是用现象来解释现象。

因为陀螺不倒=〉矢量叉积遵循右手螺旋定则（角动量变化方向垂直于重力方向）=〉所以陀螺不倒。
我问一位专业研究陀螺的朋友“动量矩变化方向为什么与力（重力）的方向垂直？”
他告诉我“因为陀螺就是这个样子。”
满足于以上解释的朋友不必向下看了
本文试图从f=ma直接入手，解决陀螺问题
因为陀螺受重力下倒=〉旋转盘要翻转=〉其上质点受迫振动=〉受迫振动规律阻止旋转盘翻转=〉所以陀螺不倒

一、先从匀质薄圆盘开始
将陀螺转子简化为薄圆盘，它受到力偶的作用，将会沿水平直径翻转，上下沿将向箭头所指方向运动

二、加速度的分布
圆盘以水平直径（图中黄线）翻转的转动惯量=I，假定所受到的力偶为Q，那么根据刚体转动定律，其翻转的角加速度=Q/I，上下沿处质点（12、6）的线加速度分别为A=-A=QR/I，圆周上的加速度分布a=Asin(ωt)

三、质点受力情况

现在考虑圆盘自
转，也就是陀螺稳定运行时的情况。

在圆盘边缘选一质点m，随圆盘自转，自转角速度为ω，m旋转一周在垂直于圆盘方向的加速度a=Asin(ωt)刚好完成一个周期。根据力与运动的关系f=ma=mAsin(ωt)。mA为12点处质点所受的力=F，那么质点m旋转一周，所受垂直于圆盘的力f=Fsin(ωt)，这是一个遵循正弦变化的周期力。……（还用上面的图）
四、单摆
现在去掉其他一切因素，只考虑m在垂直于盘面方向所受的力f=Fsin(ωt)，与我们所熟知的单摆比较。

单摆的回复力是重力的分力f=Gsin(ωt)，同样遵循正弦规律。单摆的运动规律为：回复力最大时（摆锤至最高点）其运动速度为0（瞬间静止），然后在回复力作用下速度逐渐增加，至回复力为0时（摆至最低点），其运动速度最大，这是我们所熟知的客观事实。

陀螺上质点的受力与单摆唯一的区别就在于它是受迫振动，符合“受迫单摆运动规律”，其运动方式与普通单摆一致。
考虑到陀螺边缘质点m的受力规律与摆锤相同，其运动规律也应与摆锤一致，即：受力最大时（12、6）两位置，其空间位置不变（在垂直于盘面方向瞬间静止速度为0），因此圆盘12、6的连线始终保持原位，也就是说圆盘不会出现以水平直径为轴的翻转。

正如单摆的摆锤从最高点在回复力作用下逐渐加速一样，m转过12点位置也在f=Fsin(ωt)的作用下逐渐加速，至9点位置速度最大，f=0；过9点后，由于f反向并逐渐增加，m将减速，至6点时速度再次为0。因此质点m受f=Fsin(ωt)作用，其速度分布如下图
质点m作圆周运动（沿兰盘的边缘），红色和绿色部分代表质点m在每一位置所具有的垂直于圆盘的运动速度。红色和绿色部分是与兰盘垂直的，因此红色部分（圆盘左半部）朝向我们运动，另一侧反之

边缘每个质点都在受迫振动，受力及运动规律相同，并且共同组成圆环，上图的速度分布就是圆环运动状态。
由质点组成圆环，不同半径的圆环组成圆盘，圆盘上每个质点都遵循着受迫振动的规律
根据质点受迫振动联想到单摆的运动规律，再结合上面的图，可以看到12、6两位置垂直于圆盘的运动速度为0，也就是12、6的连线空间位置不变，因此整体不会出现以3、9连线为轴的翻转，这就是陀螺的[b]定轴性[/b]（或称稳定性）。
其他位置：左半部速度向外朝向我们运动，右半部向内运动，使整体出现绕12、6连线为轴的翻转，这就是陀螺的[b]进动性[/b]。
现在回到这个图

陀螺受到重力与支点的支撑力形成的外力矩，本应掉下来（不转时的确如此），但当它旋转时，根据以上分析，其旋转盘不会以水平直径为轴翻转，也就是不沿重力方向运动（一端保持悬空不掉下来）；同时旋转盘将出现沿竖直轴的翻转，陀螺自身将产生水平方向的翻转，但受到支点的制约，表现为整体绕支点做水平旋转。
如果支架没有质量底座没有摩擦（假想状态），那么就会表现为支架绕陀螺作圆周运动。
对稳定运行的陀螺就其定轴性及进动性进行的定性分析到此已告一段落。陀螺不倒就这么简单

理解陀螺不倒的关键在于将陀螺的下倒理解为旋转盘的翻转
五、质点受迫振动
质点m受周期力作用 f(t)=Fsin(ωt)
其加速度为 a(t)=f/m=Fsin(ωt)/m
运动速度为 v(t)=Fcos(ωt)/mω
六、圆盘以12、6连线为轴旋转（进动）的角速度
再回到这个图

I……圆盘转动惯量（以直径为轴，上图的黄线）
Q……外力矩
α……角加速度
根据刚体转动定律有
α=Q/I
12点处的线加速度A=αR=QR/I；
质点受力F=mA=mQR/I

质点垂直于圆盘的运动速度v(t)=Fcos(ωt)/mω=[mQR/I]cos(ωt)/mω
9（3）点处的速度（ωt=π，0）
v=[mQR/I]/mω=mQR/Imω=QR/Iω
这是质点m垂直于圆盘运动的线速度，这个速度与半径之比就是圆盘以12、6连线为轴旋转的角速度（其他位置如10、7、4点以及圆环上所有位置都会得到相同的结果）
Ω=v/R=QR/IRω=Q/Iω
这个公式Ω=Q/Iω中的Q是外力矩，对于这个图

Q=MgL
因此它进动的角速度Ω=Q/Iω=MgL/Iω

七、问题

郁闷啊，这个结果不符合传统理论，这个公式与传统理论给出的结果有区别，其区别就在于转动惯量 I ，因此提出下面的问题

按经典理论他们的表现是一致的，而我分析的结果他们的表现必然不同

我没有条件试验，请看到的朋友评判
八、后续问题

如果我的思路正确……
我可以讲清楚章动、以及维持陀螺运转所需的最小自转角速度及最大外力矩临界值问题


具体到任何一个陀螺，外力矩MgL和自转角速度ω都存在一个临界值，外力矩一定时自转角速度必然有个最小值、自转角速度一定时外力矩必然有个最大值，在此范围内陀螺作规则运动，一旦越界，陀螺将不能保持平衡而倾倒，这个临界值如何确定？

质点受迫振动的运动方程是非线性微分方程，与椭圆方程有关

以下摘录有关资料上的几段话：


“上式是振动系统的振动特性与驱动力间的关系式，称为频率特性。注意到其第一项是随时间衰减的，在经过一段时间之后这一项将衰减到可以忽略的程度，这个衰减过程常称为系统的过渡过程，最后仅剩下第二部分。因此我们也可只讨论第二部分的特性。”

这里似乎论述的是“章动”……众所周知，章动有个从陀螺最初开始运行后逐渐衰减的过程，最后减至可以忽略的程度。

“综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：
⑴在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某—临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。”

这也许就是我们希望找到的最大外力矩的临界值。

“设驱动力振幅F保持常数，而驱动力频率n由小到大值缓慢增加，这时振幅逐渐增加，即共振点由1运动至2。然而在到达点2后，如再继续增加n值，则振幅A发生向上跳变，由点2跳到点3，并伴随着解x的相位反相。再继续增加n值，则振幅逐渐减少。当n值由大到小减少时，开始振幅逐渐递增加，在到达点4后，再继续减小n值时，振幅又发生一次跳变到低值，振幅由4一下跳到最低值，同时振动相位又将出现一次反相。”

这应该就是最小自转角速度的临界点

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