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趣味数学——用折纸法画椭圆

2012-02-11 19:46阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1403888403

折纸法画椭圆方法
1：先准备一个圆形纸片，在纸片中间(不能是中心点)确定一点P.

2：开始折叠圆，将圆折起一角，使得圆周正好过点F

3： 如此，便有了一折痕L，我们当然知道，这样的折叠可以有很多种方式，这样继续折下去，你将得到若干条折痕，将每一条折痕都用笔标记出来，你会发现，这些折痕衬托出了一个椭圆的轮廓：

4： 接下来的事情就很简单，你画一条曲线，使之和每一条折痕相切就行了，得到的曲线就是以F和圆形O为焦点的一个椭圆。所用的方法和我们昨天用矩形纸片折抛物线的时候是非常的类似。当然，下面我们就应该证明为何得到的曲线就是椭圆。

折纸法画椭圆的证明

首先我们要知道的是，因为F异于O点，所以若以F和O为焦点，那么可以画一个椭圆，设这个椭圆为C。如上图所示，考虑其中一条折痕，做F点关于折痕对称的点M，显然M应该在圆周上，连接MO，交折痕于P，这个P点就是我们的重点了。根据对称性，PF=PM，所以PF+PO=PM+PO=MO=r。也就是说，P点到F和O点的距离之和是个与折痕无关的常数，所以P点应该在椭圆C上。另一方面，考虑异于P的Q点，可以很容易看出，QF+QO并非一个常量，所以Q点不在椭圆C上，也就是说，折痕于椭圆C只有一个交点P，该折痕就是椭圆C的一条切线，同理，每一条折痕都是椭圆C的切线，众多切线包围住椭圆，也就显示出其轮廓，这正是我们折纸法折出椭圆的原理。
趣味数学——用折纸法画双曲线
点击数：1659 次 录入时间：2011/12/13 14:55:00 编辑：xuefuzi.com
前面我们用了两篇文章的篇幅，分别介绍了用折纸法画抛物线，与用折纸法画椭圆，我们自然就会想到，能不能用折纸法画双曲线？这也是有可能的，前面两篇文章的内容是摘自中学生数学文库，今天这篇文章是我依据前面的内容而得。
用折纸法画双曲线的方法
1：首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。

2：采用和很类似画椭圆很类似的方法，开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。
技术不行，图片画得有点歪，还请见谅，将就着看啦，哈哈。

我们显然知道，这样的折叠有很多方法，每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来，反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓，可能会有朋友误认为是抛物线，因为这里得到的只有双曲线的一个分支。

接下来的事情就和前面一样，你只要画一条曲线，只要这条曲线与每一条折痕相切就OK啦！同样的，我们应该来证明，为何得到的曲线就是双曲线？
折纸法画双曲线原理的证明
下面的图就是我们的证明图，相信读过前面两篇文章的朋友已经很熟悉。

首先我们要知道的是，若以点F和点O为焦点，则可以做双曲线，这个双曲线当然不止一条。做F点关于折痕对称的点M，根据对称性，M点一定在圆O上，连接MO并延长，交于折痕于P，这个P点就是焦点。因为PF-PO=PM-PO=OM=r。也就是说，P点到O点和到F点的距离之差是一个常数！而这正是双曲线的定义，所以P点在一条双曲线C上，另一方面，我们可以证明，折痕上除了P点，不会有其他的点满足这个条件，所以说折痕就是双曲线的切线，众多的切线将双曲线包围起来，就衬托出了双曲线的轮廓。这正是我们折纸法画双曲线的原理所在。
和我们折纸法画椭圆不同，看我们图就知道，因为视野只是局限于圆内，所以有些折痕没能和我们的双曲线相切，事实上他们是相切与圆外的，所以各位在做实验的时候就可能会出现这种情况。
通过折纸法画椭圆和画双曲线，大家是否感觉两者的过程异常类似？两个唯一的不一样就是，椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这正是二者不同之处。隐隐约约两者似乎有某种关系，明天再一同阐述。
前面我们用了两篇文章的篇幅，分别介绍了用折纸法画抛物线，与用折纸法画椭圆，我们自然就会想到，能不能用折纸法画双曲线？这也是有可能的，前面两篇文章的内容是摘自中学生数学文库，今天这篇文章是我依据前面的内容而得。
用折纸法画双曲线的方法
1：首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。

2：采用和很类似画椭圆很类似的方法，开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。
技术不行，图片画得有点歪，还请见谅，将就着看啦，哈哈。

我们显然知道，这样的折叠有很多方法，每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来，反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓，可能会有朋友误认为是抛物线，因为这里得到的只有双曲线的一个分支。

接下来的事情就和前面一样，你只要画一条曲线，只要这条曲线与每一条折痕相切就OK啦！同样的，我们应该来证明，为何得到的曲线就是双曲线？
折纸法画双曲线原理的证明
下面的图就是我们的证明图，相信读过前面两篇文章的朋友已经很熟悉。

首先我们要知道的是，若以点F和点O为焦点，则可以做双曲线，这个双曲线当然不止一条。做F点关于折痕对称的点M，根据对称性，M点一定在圆O上，连接MO并延长，交于折痕于P，这个P点就是焦点。因为PF-PO=PM-PO=OM=r。也就是说，P点到O点和到F点的距离之差是一个常数！而这正是双曲线的定义，所以P点在一条双曲线C上，另一方面，我们可以证明，折痕上除了P点，不会有其他的点满足这个条件，所以说折痕就是双曲线的切线，众多的切线将双曲线包围起来，就衬托出了双曲线的轮廓。这正是我们折纸法画双曲线的原理所在。
和我们折纸法画椭圆不同，看我们图就知道，因为视野只是局限于圆内，所以有些折痕没能和我们的双曲线相切，事实上他们是相切与圆外的，所以各位在做实验的时候就可能会出现这种情况。
通过折纸法画椭圆和画双曲线，大家是否感觉两者的过程异常类似？两个唯一的不一样就是，椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这正是二者不同之处。隐隐约约两者似乎有某种关系，明天再一同阐述。
文章来源：学夫子数学博客

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