原文地址：等比数列在日常经济生活中的应用
【课题】
【教材分析】本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中P36、P48有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。
【课
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【课题】
【教材分析】本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中P36、P48有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。
【课
列在日常经济生活中的应用
【课
【教学目标】1． 体会“分期付款”日常生活中实际问题；
3． 通过本节的教习 ，培养学生的应用意识及科学探索精神；使学生体验探索的过程，并形成严谨的治学态度。
【德育目标】引导学生在遇到问题时主动尝试解决问题，并且多层次、多角度地考虑问题，使形成严谨的治学态度；培养学生的应用意识及科学索精神；体验探索的过程；
【教学重点】抓住分期付款的本质分析问题；
【教学难点】建立数学模型，理解分期付款的合理性；
【教学准备】制作相关材料，课前摸底了解情况；
【教学过程】
一、导入新课：
幽默故事：一位中 国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.
指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物,分期付款已深入我们生活.在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
（投影仪出示）有关分期付款的知识：
⒈分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清；
⒉分期付款中，一般规定每次付款额相同；每期付款的时间间隔相同;
⒊分期付款中，每月利息按复利计算；(即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金)
⒋分期付款中，贷款（或商品价值）与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期付款的总额高于一次性付款的总额；
⒌分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和；即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等.（此为解题之关键）
⒍分期付款的数学方法是等比数列求和.
⑴参阅教材P36，P48有关单利和复利的说明;
⑵你是怎么理解”分期付款”的?
⑶你怎么样理解“增值”这个概念?
⑷应让学生充分理解“每期付款额也会产生利息,即每期付款也会增值.”
二、讲授新课：
例：某学生家长从2005年到2008年每年的6月1日都到银行存款1000元作为教育储蓄，假定年利率为1%，且每年到期的存款本息均自动转为新一年的定期，假定到2009年6月1日，学生家长到银行不再存款，而是将所有的本息全部取回，则取回的金额是多少元？
分析：本题可通过逐年来计算本息和
06年6月1日未存款前的本息和为1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）+1000
07年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）2+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
08年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
﹞（1+1%）=1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
09年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）4+1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）≈4101.01元
【思考1】
若2009年6月1日学生家长为了使学生受到更好的教育需要用到4101元，那么他从05年开始存款，每年应存多少？
【思考2】“教育储蓄”与“分期付款”有什么异同点？
【类比探究】1台电脑售价为1万元.如果采取分期付款,在1年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%).假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑，除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式。你能帮他们参谋选择一下吗？
分析:
思路1：本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则:
1个月后欠款：a1=10000（1+1%）-x
2个月后欠款：a2= a1（1+1%）-x=10000（1+1%）2- x（1+1%）-x
3个月后欠款：a3= a2（1+1%）-x=10000（1+1%）3- x（1+1%）2- x（1+1%）-x
……
12个月后欠款：a12= a11（1+1%）-x=10000（1+1%）12- x（1+1%）11- x（1+1%）10…-x
∵a12=0
∴10000（1+1%）12- x（1+1%）11- x（1+1%）10…-x =0
思路2： 每期付款产生的本利的累加之和＝商品到期后付款的总额，即
x（1+1%）11+ x（1+1%）10…+x= 10000（1+1%）12
三、随堂练习：
由学生完成上表中“方案1”和“方案2”，熟练探究方法；
方案1:x=3607.62元，付款总额3x=10822.86元；
方案2:x=1785.86元，付款总额6x=10715.16元；
方案3:x=888.49元，付款总额12x=10661.88元.
可见：方案3使得付款总额较少，同时教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。
请同学们总结：
分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型:
四、课堂小结：
师生共同回顾思维过程,教师提醒.
①
②
五、布置作业：
【课后思考】请同学计算出分期付款的付款总额,它与10000元的差额是多少?为什么会有一个差额,你怎样理解这种现象的合理性。
六、板书设计
【课
【教学目标】1． 体会“分期付款”日常生活中实际问题；
3． 通过本节的教习 ，培养学生的应用意识及科学探索精神；使学生体验探索的过程，并形成严谨的治学态度。
【德育目标】引导学生在遇到问题时主动尝试解决问题，并且多层次、多角度地考虑问题，使形成严谨的治学态度；培养学生的应用意识及科学索精神；体验探索的过程；
【教学重点】抓住分期付款的本质分析问题；
【教学难点】建立数学模型，理解分期付款的合理性；
【教学准备】制作相关材料，课前摸底了解情况；
【教学过程】
一、导入新课：
幽默故事：一位中 国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.
指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物,分期付款已深入我们生活.在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
（投影仪出示）有关分期付款的知识：
⒈分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清；
⒉分期付款中，一般规定每次付款额相同；每期付款的时间间隔相同;
⒊分期付款中，每月利息按复利计算；(即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金)
⒋分期付款中，贷款（或商品价值）与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期付款的总额高于一次性付款的总额；
⒌分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和；即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等.（此为解题之关键）
⒍分期付款的数学方法是等比数列求和.
⑴参阅教材P36，P48有关单利和复利的说明;
⑵你是怎么理解”分期付款”的?
⑶你怎么样理解“增值”这个概念?
⑷应让学生充分理解“每期付款额也会产生利息,即每期付款也会增值.”
二、讲授新课：
例：某学生家长从2005年到2008年每年的6月1日都到银行存款1000元作为教育储蓄，假定年利率为1%，且每年到期的存款本息均自动转为新一年的定期，假定到2009年6月1日，学生家长到银行不再存款，而是将所有的本息全部取回，则取回的金额是多少元？
分析：本题可通过逐年来计算本息和
06年6月1日未存款前的本息和为1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）+1000
07年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）2+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
08年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
﹞（1+1%）=1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000
09年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）4+1000（1+1%）3+1000（1+1%）2+1000（1+1%）≈4101.01元
【思考1】
若2009年6月1日学生家长为了使学生受到更好的教育需要用到4101元，那么他从05年开始存款，每年应存多少？
【思考2】“教育储蓄”与“分期付款”有什么异同点？
【类比探究】1台电脑售价为1万元.如果采取分期付款,在1年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%).假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑，除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式。你能帮他们参谋选择一下吗？
| 方案类别 |
分几次付清 |
付款方法 |
每期所付款额 |
付款总额 |
与一次性付款差额 |
1 |
3次 |
购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。 |
|||
2 |
6次 |
购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款，……购买后12个月第6次付款。 |
|||
3 |
12次 |
购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款，……购买后12个月第12次付款。 |
|||
| 注 |
规定月利率为1%，每月利息按复利计算。 |
||||
分析:
思路1：本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则:
1个月后欠款：a1=10000（1+1%）-x
2个月后欠款：a2= a1（1+1%）-x=10000（1+1%）2- x（1+1%）-x
3个月后欠款：a3= a2（1+1%）-x=10000（1+1%）3- x（1+1%）2- x（1+1%）-x
……
12个月后欠款：a12= a11（1+1%）-x=10000（1+1%）12- x（1+1%）11- x（1+1%）10…-x
∵a12=0
∴10000（1+1%）12- x（1+1%）11- x（1+1%）10…-x =0
思路2： 每期付款产生的本利的累加之和＝商品到期后付款的总额，即
x（1+1%）11+ x（1+1%）10…+x= 10000（1+1%）12
三、随堂练习：
由学生完成上表中“方案1”和“方案2”，熟练探究方法；
方案1:x=3607.62元，付款总额3x=10822.86元；
方案2:x=1785.86元，付款总额6x=10715.16元；
方案3:x=888.49元，付款总额12x=10661.88元.
可见：方案3使得付款总额较少，同时教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。
请同学们总结：
分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型:
四、课堂小结：
师生共同回顾思维过程,教师提醒.
①
②
五、布置作业：
【课后思考】请同学计算出分期付款的付款总额,它与10000元的差额是多少?为什么会有一个差额,你怎样理解这种现象的合理性。
六、板书设计
|
一、分期付款的有关知识（关键点） |
三、类比探究 |
五、课堂小结 |
| 二、应用示例 |
四、总结规律 |
六、布置作业 |