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从积分定义角度求积分。

2018-12-20 09:05阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1419107795

一、利用定积分的定义求1/（x）的不定积分。
;将0到x分成n等份，则x=x /n； (n→∞) ，x→0，n=x /x, 1/n=x/x;
按照定义求∫(1/x) x== [lim(n→∞)[ x/x+x/2x+x/3x...+ x/nx]=1+1/2+1/3...1/n,还是求不出结果。
;1/x=ln[e(1/x)]= [lim (n→∞) ln (1+1/n)n] ^(1/x)= [lim(
x→0) ln (1+x/x)x/x] ^(1/x),
;= [lim(x→0) ln(1+x/x)x/x] ^(1/x)
;= [lim(x→0) ln (1+x/x)1/x]
;= [lim(x→0) ln (1+x/x) /x]
;= [lim(x→0) {ln [(x+x)]- ln (x)}/x;
;= f/x,即1/x=f/x，f= ln (x), f=(1/x) x
；∫f=∫(1/x) x;
;f= ln (x)= ∫(1/x) x;当然还需要考虑常数C。
二、利用定积分的定义求1/（x）在[a,x]的定积分。
;将a到x分成n等份，令x1=x-a, x1=x则x=( x-a) /n； (n→∞) ，x→0，n=( x-a)/x, 1/n=x/( x-a);
; 1/x1=ln[e(1/x1]= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)x1/x1] ^(1/x1)；
;= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)1/x1] ;
;= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)] /x1;
;= [lim(x1→0) {ln [(x1+x1)]- ln (x1)} /x1;
;= [lim(x1→0) {ln [(x1+x1)/a]- ln (x1)/a} /x1;加a后值不变。
;=f/x1;即1/x1=f/x1，f= ln (x1/a), f=(1/x1) x1
；∫f=∫(1/x1) x1;
;f=∫(1/x1) x1;即ln[(x-a/) a]=∫(1/（x-a) （x-a）;当然还需要考虑常数C。
将x-a替换成x, ln[x/ a]+c=∫(1/（x) （x）
三、利用定积分的定义求1/（x2）的积分。
因为x不能等于0设a到x，且0；
令xi=a*(x/a)^(i/n) （按等比数列分割区间）
xi=x(i+1)-xi=a*(x/a)^(i/n)[(x/a)^(1/n)-1]
 则∫(a,x)1 /x^2dx=lim(n→∞)∑(1/a^2)*(a/x)^(2i/n)*xi
=lim(n→∞)∑(1/a^2)*(a/x)^(2i/n)* a*(x/a)^(i/n)[(x/a)^(1/n)-1]
=lim(n→∞)∑(1/a)*(a/x)^(i/n)*[(x/a)^(1/n)-1]；i=0，，，n-1；等比数列公式：S=a1(1-qn)/(1-q)，q=a(x/a)1/n;
=lim(n→∞)(1/a)*[(x/a)^(1/n)-1]*(1-a/x)/[1-(a/x)^(1/n)]
=lim(n→∞)(1/a)*(x/a)^(1/n)*(1-a/x)
=1/a-1/x； 从积分定义角度求积分。
从积分定义角度求积分。
从积分定义角度求积分。

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