如果你是费马，有了这些发现之后，很自然会去思考三次方程定义的曲线，对不对？费马当然也会这么想。首先，在一个合适的坐标变换后，大多数三次方程可以写成标准形式：
y^2=x^3+a^x+b
其中系数a，b满足4a^3+27b^2≠0，这个方程描绘出来的曲线就叫做椭圆曲线。后面我们再介绍不满足这个条件的曲线。下面的两张图都是椭圆曲线：
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费马的许多研究都围绕着椭圆曲线。让我们循着费马的轨迹，一起来欣赏一下这些有趣的工作（有兴趣的读者可以参看加藤和也等人写的《数论I：Fermat
的梦想和类域论》）。
(A) 立方数与三角数
所谓三角数，就是下面这类等边三角形上的格点个数：1，3，6，10，15，…….
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你很容易猜出三角数的一般公式是(x)(x+1)/2
费马叙述了以下几个有趣的结果：
(1) 除了1 之外，任何三角数都不可能是立方数。
用方程的语言，就是说：
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除了(x,y)=(1,1)之外没有其他正整数解。上面这个方程描绘的曲线是椭圆曲线——当然，你需要做一些坐标变换才能变成标准型。
(2) 一个立方数减去2 不可能是平方数，除非是以下特例：5^2=3^3-2
写成方程的话，就是：
y^2=x^3-2
仅有一组正整数解(x,y)=(3,5)。这方程描绘的曲线当然还是椭圆曲线。
(3) 一个立方数减去4 不可能是平方数，除非是以下特例: 2^2=2^3-4，11^2=5^3-4
也就是说方程：
y^2=x^3-4
仅有两个整数解(x,y)=(2,2)，(5,11)。上面的方程仍然描绘了椭圆曲线。
(B) 直角三角形与同余数。
所谓的同余数，来自于以下经典的数学问题。
（同余数问题）给定正整数n，是否存在直角三角形，使得三条边都是有理数，并且面积恰好是n？如果存在这样的三角形，就称n
是同余数。
费马在丢番图的《数论》的空白处做的批注中叙述了这样的结果：
n=1，2 不可能是同余数
同余数问题由来已久，至今仍未彻底解决。目前我们已知的最前面的同余数是
5，6，7，13，14，15，20，21，22，23，24，28，29，30，31，34，37，38，39，41，45，46，47
同余数问题等价于求解正有理数(a,b,c)满足：
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如果我们令
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则得
y^2=x^3-n^2x
这个方程再一次向我们呈现了椭圆曲线！显然(x,y)=(0,0)，(n,0)，(-n,0)是它的有理数解。
正整数n 是否是同余数，取决于上面的方程还有没有其他有理数解。
费马的另一个结论说：
假如n 是同余数，那么上面的椭圆曲线方程应该还有无限多个有理数解。
例如， 因为 5 是同余数，所以椭圆曲线方程 y^2 = x^3 － 25x 就有无限多个有理数解。
一般说来，判断一条椭圆曲线的方程是否有无限多个有理数解，是一个困难的问题。 这个问题涉及到数学上最著名的猜想之一——BSD
猜想。这个重要的猜想曾作为千禧年七大数学猜想为世人所知，吸引了许多数学家为之奋斗。它将数学中很多深刻的理论分支都联系在一起。如果能解决它，那么数学的发展必将会飞跃一大步。
(C) 费马大定理
费马曾经在丢番图的书的批注中提出如下的“结论”（称为费马猜想、费马的最后定理、费马大定理）：
以下方程
X^n+Y^n=Z^n(n>2)，XYZ≠0
没有整数解(X,Y,Z)。
费马自己证明了n=4
的情形，并声称找到了一种巧妙的方法能够解决一般情形。但是他并没有告诉人们一般情形证明是怎样的。此后的几百年，有许许多多优秀的数学家致力于证明这个结论，但他们的努力都失败了。直到1995
年前后，才由数学家外尔斯彻底解决。
虽然许多人证明费马猜想的努力都未获成功，但是他们的工作却在很大程度上促进了各个数学分支的发展，极大地丰富了数学世界的内容。因此有人把费马猜想比喻作“一只会生金蛋的鸡”，实在是非常的准确。
如今回过头来看，我们不得不问：对于如此之难的数学问题，为何费马会声称自己找到了证明？到底是费马跟我们开了玩笑，还是上帝跟费马开了玩笑？这里不做探讨了。我们想要告诉大家的是，费马猜想和椭圆曲线的关系是极为密切的。从某个方面说，椭圆曲线是不折不扣的“金蛋”！
让我们来看几个具体的例子。
（1）X^3+Y^3=Z^3
这个特殊情形由高斯和欧拉分别解决。欧拉的证明极为繁琐，相比之下高斯的方法不但简洁，而且极富启发性。我们这里不打算介绍证明，有兴趣的读者可以参看H.德里《100个著名初等数学问题》一书。
让我们做这样的初等变换：
x=(12Z)/(X+Y)
y=36(X-Y)/(X+Y)
将上式代入费马方程即得：
y^2=x^3-432
瞧，这又是椭圆曲线！因为我们现在已经知道原来的方程没有非平凡解（所谓平凡解，就是允许X,Y,Z
其中一个数是零），所以这相当说上面的椭圆曲线方程只有显然的有理数解(12,36)和(12,-36)。
（2）X^4+Y^4=Z^4
费马利用无穷递降法证明其无平凡解。它也可以通过以下初等变换变成椭圆曲线：
x=2(Y^2+Z^2)/X^2
y=4Y(Y^2+Z^2)/X^3
代入原方程即得一条椭圆曲线：
y^2=x^3-4x
它仅有(0,0)，(2,0)，(-2,0)三个有理数解。
我们也可以用另一种方法得到椭圆曲线。令：x=Z^2/Y^2, y=(X^2)Z/Y^3
这就得到新的椭圆曲线：
y^2=x^3-x
（3）X^n+Y^n=Z^n，n 是素数（所谓素数，就是指这样的正整数，它不能分解成两个更小的正整数的乘积）
假设(X,Y,Z)=(a,b,c)是一组非平凡解。此时人们构造了椭圆曲线（它不是标准方程）：
y^2=x（x+a^n）（x-b^n）
这条椭圆曲线称作Frey 曲线。Ribet 于1986 年证明该曲线不能是模曲线（这里我们不解释此概念）。而另一方面Wiles
于1995 年证明Taniyama-Shimura 猜想，即任何椭圆曲线都是模曲线，这就等于证明费马方程无非平凡解。
如果 n 是大于 4
的合数，上面的几类例子可以很容易地推出：此时的费马方程也无非平凡解。限于篇幅，我们不再详细介绍。有兴趣的读者可以参看辛格所著的《费马大定理》或其他相关的科普书籍。
退化的椭圆曲线
上面我们定义的椭圆曲线方程y^2=x^3+ax+b，要求系数满足4a^3+27b^2≠0。那么假如4a^3+27b^2=0，我们会得到什么样的三次方程的曲线呢？
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(1) 带结点的有理曲线（a, b 不全为零）此时图形如上图图右。
大家可以看到，曲线上有一个自交点。在这个交点附近看曲线类似于一个十字架，因此我们称之为结点(node)。这里“有理曲线”一词可以粗略理解为指直线或圆锥曲线的意思。上述曲线图形可以差不多看成是这条有理曲线打了一个结—后面我们会解释这一点。
(2)带尖点的有理曲线(a＝b＝0)此时图形示意图如上图左。这条曲线有一个尖锐的点，称作尖点
(cusp)。顾名思义，这条曲线就好比是有理曲线上捏出一个尖点。
除了以上两种曲线，我们还把以下几类曲线都统称为退化的椭圆曲线：
(3) 三条直线的并集（即三条一次曲线的并集）；
(4) 一条圆锥曲线和一条直线的并集（即一条二次曲线和一条一次曲线的并集）。
从这个泛化概念上看，我们可以把直线和圆锥曲线也看作是椭圆曲线的一个部分。因此，可以预见，圆锥曲线的很多美妙性质应该都来自于椭圆曲线。事实正是如此。
名不副实：为什么叫“椭圆曲线”？
椭圆曲线的图形和椭圆显然没什么关系（见前面的图）那为什么我们要称之为“椭圆曲线”呢？
原来，当初人们想用微积分计算椭圆的周长（圆的周长大家都会求）。通过一定的积分技巧，最终要求出以下类型的积分：
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其中分母的函数项两边平方一下恰好就是椭圆曲线的方程。这就是为什么椭圆曲线的名字里包含“椭圆”二字。顺便说一下上述积分是无法用初等函数的表达式计算出来的——其本质原因和椭圆曲线的几何性质密切相关。
海底冰山：椭圆曲线隐藏的部分
回顾一下，椭圆曲线的两个例子：
从第一张图，我们可以看到椭圆曲线的图形似乎可以分离成两个不相交的分支，第二张图则只有一个分支。是否还有许多其他的类型呢？确实如此。牛顿曾经对椭圆曲线做了很细致的分类，将它们分成了数十种类型。
为什么直线和圆锥曲线只有区区几种类型，而椭圆曲线种类一下子增加很多呢？让我们先想像一个情景：在宽阔的海平面上露出一处礁石。如果海平面降低的话，礁石就会变大，可能会形成一座小山；如果海平面继续下降，本来的一座小山可能会变成许多座互不相连的小山；随着海平面下降，小山们变成了一座座小岛，有些本来不相连的岛甚至可能会连接起来。假如我们抽干所有的水，那么你会发现所有岛其实只不过是同一块陆地的不同部分。
其实我们要解释的问题和上述比喻完全一样。因为通常考虑的曲线上的点(x,y)都是实数点，即x,y 是实数。假如我们允许x,y
取复数，那么椭圆曲线上就多出了许许多多复数点。想象一下，实数坐标平面好比我们的海平面，包括全部复数点和实数点的椭圆曲线好比是陆地，其中露在海平面上的部分只是实数点（见以下示意图）。
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这样一来，你看到的椭圆曲线实图形其实只是整个椭圆曲线中的很少一部分，大部分都隐藏在实坐标平面背后。海面上的岛屿千差万别，但实际上无非是同一块陆地的不同部分。这就是我们所要的答案—有点类似于“盲人摸象”的典故。
上面的讨论告诉我们，如果仅考虑实数情形的话，我们其实损失掉了很多有用的几何信息。仅考虑实数平面图形显然是一个不必要的思维枷锁。因此我们完全可以放弃掉这一假设，即允许x,y
取复数。这样一来我们得到的椭圆曲线要比原来的丰富了许多！当然，为了以后画图方便，人们仍然习惯于用实数平面的图形作为椭圆曲线的示意图—上一节的几张图都是这样。以后我们谈到椭圆曲线就默认它是在复数坐标上的。
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