小学弃九法的加、减、乘、除 (上)
2017-04-12 07:46阅读：
小学弃九法的加、减、乘、除
Li20170411
＋＝－×÷＝≡＜＞≤≥／∣＋＝－×÷＝≡＜＞≤≥／∣＋＝－×÷＝≡＜＞≤≥／∣
![小学弃九法的加、减、乘、除 <wbr>(上)]( "小学弃九法的加、减、乘、除 <wbr>(上)")
先看看一个数的数字和有什么规律
（这里用 abc
代表一个三位数字，见谅）
abc ＝100a ＋
10b ＋ c
等式两边同时减去该数的数字和（a＋b＋c）
abc
－（a＋b＋c）＝
99a ＋ 9b
右边是一定可以被9整除的。
根据同余定理，左边两项，即 abc
和（a＋b＋c），模9同余。也就是说：
如果 abc
除以9余几，那么该数数字和除以9一定也余几。
若 abc
模9余0（即整除），则
abc
的数字和：（a＋b＋c），模9余0。
该证明易懂，就列在上面了。下面我们来说弃九法。
弃九法最重要的一句话就是：
如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
上面证明是用模9同余说的。如同余一样，弃九法的加、减、乘也成立。下面举个乘法的例子，该例同时说明弃九法的其中一个用处：查错。
14 × 29 ＝
406
用同余定理没什么好说的。等式左边：14模9余5，29模9余2,二五一十。等式右边：406
－ 10 ＝ 396 ＝ 44 ×
9，也是模9余10。（10≡1（mod9），这里我们只是说明问题，不要那么精确）。
这里我们用弃九检验，上面看406模9余几还比较费事的。
把上式三个数14、29、406的各个数位上的数字加起来。
左边：1＋4＝5
2＋9＝11
得：5×11＝55，5＋5＝10
右边：4＋0＋6＝10
弃九查错通过，没有验错报警。该注意的是：弃九不能验对。
像同余一样，除法要小心，弃九除法实际上是要改成乘法去验证的。
上面说了那么多，弃九法需要记的再说一遍，这次用黑体字
一个数各个数位上的数字之和与该数模9同余。弃九运算遵守同余运算规律（除法转成为乘法算）
第三句黑体字话
每进一位，数字和少9
因为逢十进一，十减一为九。
下面着重讨论的是弃九在杯赛上的应用。用两道数字谜举例。
某语：“弃九法已经成为杯赛的一大热点考点，近几年的华杯赛必考题型，尤其是在数字谜中的妙用”
先找个简单点的。
（1）第十七届华杯初赛（小中组笔试版）第一题。
放鞭炮
＋
迎龙年
贺新春
先换成字母
A B C
＋
D E F
G H I
每个字母代表一个非零数字，不同汉字代表不同数字，求：G＋H＋I
＝ ？
设ABC数字和为X，DEF数字和为Y，GHI数字和为Z。求的是Z。下面用弃九做。
X ＋ Y ≡
Z（mod 9）
X ＋ Y ＋
Z ＝
45，即：X ＋
Y＝ 45 －
Z
45 － Z ≡
Z（mod 9）
45 ≡ 2
Z（mod 9）
说明 2Z 能被 9
整除。2、9互质，即
Z 能被 9
整除。
因为 Z ＜
9＋ 9
＋ 9 ＝ 27
Z只能是9或18。到底是9还是18呢？
若为 9，则X
＋
Y＝45－9＝36
36－9＝ 27
说明进位了三次。而上题显示百位数上没有进位。故不可能。
若为18，则X
＋
Y＝45－18
＝ 27
27－18＝ 9
说明只进位了1次。故 Z
为18。
没有别的可能性了，故
G＋H＋I
＝ 18
下面这道题用到的弃九和该题总运算量相比倒不大，只看前面的部分好了。本文只是介绍弃九，没打算打穿数字谜。
（2）第十六届华杯决赛题A（小学组）第十三题。
兔 年
十 六 届
＋ 华
杯 决 赛
2
0 1 1
不同的汉字代表不同的数字.问:满足要求的不同算式共有多少种?
前面那道题不用弃九也能凑出来，好歹还是一道小中初赛题。这道题要是也根据基本加法规律拼运气和智慧，会不会要挠头。关键是，这题问的内容。凑出少数答案是不够的。现在要是我告诉你，别的小孩子可能会把5首先排除掉，你会不会觉得受欺骗了？
数了上面的字数，一共有9个，没有相同的。也就是说0-9十个数字中有一个没有用到。
又说一遍弃九法：
兔加年的数字和，加上十加六加届的数字和，加上华加杯加决加赛的数字和，实际上就是这9个数字的数字和，弃九后应该与2011的数字和（2＋0＋1＋1＝4）相等。
0-9相加为45
45 ≡ 0（mod
9）
45＋4－9≡4（mod
9）即：45－5≡4（mod
9）
看到了吧，必须从0-9中去掉5，剩下的数字都要用上。
分析上图，容易看出“华”只能是1。2011的0、1、1表示这些地方都发生了进位。
实际上：（40-4）÷ 9
＝4，说明发生了4次进位。
“2011”中三个地方发生了4次进位，说明其中一处进了两位。继续分析
（弃九应用已经结束，下面坚持把题目做完。这里选的这道题不太好，后面分析太复杂了。弃九法看到此行结束就好了）
先分析发生两次进位的地方：
黑猫语：请看下集
（＋＝－×÷＝≡＜＞≤≥／ 单篇文章长度线＋＝－×÷＝≡＜＞≤≥／）
