正五边形能够通过尺规作图完成，正七边形与其它
2012-12-13 16:57阅读：
上到圆与正多边形，有一个内容是尺规作图，课外资料有一练习题是：下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是（ ）
A 正三角形 B 正四边形 C 正五边形 D 正六边形
提供的答案是C 。这显然是错误的。
圆内接正五边形的画法如下:
1, 作一个圆,设它的圆心为 O;
2,作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY;
3,作 OY 的中点 M;
4,以点 M 为圆心,MA 为半径作圆,交 OX 于点 N;
5,以点 A 为圆心,AN 为半径,在圆上连续截取等弧,使弦 AB=BC=CD=DE=AN,
则五边形 ABCDE 即为正五边形
可以证明这个作图时正确的。这里略去。
正多边形的尺规作图是大家感兴趣的。正三边形很好做;正四边形稍难
一
点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点,但人们也找到了正五 边形的直规作图方法。
确实,有的困难一些,有的容易一些。正七边形 的尺规作图是容易一些,
还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七 边形的办法,这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种
作法,也使人怀疑:究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这 样的判断:至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来,所以断言
它是不能用尺规作出的。人们迅速地解决了正三,四,五,六边形的尺规作图问题,却在
正七边形面前止步了:究竟能作不能作,得不出结论来。这个悬案一直
悬而未决两千余年。
17 世纪的费马, 就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数 学家,他研究了形如 Fi (i 为右下角标)=22i(底数
2 指数 2 的 i 次幂)+1 的数。 费马的一个著名猜想是, n≥3 时,
当 不定方程 xn+yn=zn 没有正整数 解。
现在他又猜测 Fi 都是素数,对于 i=0,1,2,3,4 时,容易算出 来相应的 Fi:
F0=3,F1=5,F2=17, F3=257,F4=65 537
验证一下,这五个数的确是素数。F5=225+1 是否素数呢?仅这么
一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论, 伟大的欧拉发现它竟不 是素数,因而,伟大的费马这回可是猜错了!F5 是两素数之积:
F5=641×6 700 417。
当然,这一事例多少也说明:判断一个较大的数是否素数也决不 是件简单的事,不然,何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解
决问题? 更奇怪的是, 不仅 F5 不是素数, F7 也不是素数, F9, F6, F8, F10, F11 等还不是素数,甚至,对于
F14 也能判断它不是素数,但是它的任 何真因数还不知道。至今,人们还只知
F0,F1,F2,F3,F4 这样 5 个
数是素数。由于除此而外还未发现其他素数,于是人们产生了一个与费 马的猜想大相径庭的猜想,形如
22i+1 的素数只有有限个。但对此也
未能加以证明。当然,形如 Fi=22i+1
的素数被称为费马素数。由于素数分解的艰 难,不仅对形如 Fi=22i+1
的数的一般结论很难做出,而且具体分解某 个 Fi 也不是一件简单的事。
更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现 F5 不是素数之后的 60 多 年,一位德国数学家高斯,在他仅 20
岁左右之时发现,当正多边形的 边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论:正 n 边 形可尺规作图的充分且必要的条件是
n=2k(2 的 k 次幂)或 2k×p1×p2×…×ps,(1,2…s 为右下角标) 其中,p1,p2,…,ps
是费马素数。 正 7 边形可否尺规作图呢?否!因为 7
是素数,但不是费马素数。倒是正 17 边形可尺规作图, 高斯最初的一项成就就是作出了正 17
边形。根据高斯的理论, 还有一位德国格丁根大学教授作了正 257
边形。就这样,一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解
决,而这一问题解决的过程是如此的蹊跷,它竟与一个没有猜对的猜想 相关连。正 17
边形被用最简单的圆规和直尺作出来了, 而正多边形可以换 个角度被视为是对圆的等分, 那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了 17
等分,其图形更觉完美,好看。高斯本人对此也颇为欣赏,由此引导
他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过), 而且在他逝后 的墓碑上就镌刻着一个正 17
边形图案。高斯把问题是解决得如此彻底,以致有了高斯的定理,我们对于
早已知道如何具体作图的正三边形,正五边形,还进而知道了它们为什 么能用尺规作图,就因为 3 和 5
都是费马素数(3=F0,5=F1);对于很 久以来未找到办法来作出的正七边形,乃至于正 11 边形,正 13 边形,
现在我们能有把握地说,它们不可能由尺规作图,因为 7,11,13 都不 是费马素数;对于正 257 边形,正 65 537
边形,即使我们不知道具体 如何作,可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外,为什么 正四边形, 正六边形可尺规作图呢?因为
4=22, 因为 6= 2 3 而 3=F0。
