黎曼问题

　描写气体运动的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量三个守恒律组成，它的最大特点和困难在于解中会出现间断现象，冲击波就是一种压缩性的间断。１８５８年，黎曼紧紧抓住了间断现象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题即初值为含有一个任意间断的阶梯函数，被后人称为黎曼问题。黎曼构造出了它的四类解，它们分别由前、后向疏散波和前、后向冲击波组装而成。并利用相平面分析方法给出了此四类解的判别条件。黎曼的这一工作开创了“微分方程广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼以其敏锐的洞察力和巨大的创造力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基石。

对于守恒双曲型方程(1)的分片光滑弱解
　　　∫₀^∞∫^∞_-∞［w_tu+w_xf(u)］dxdt+∫^∞_-∞w(x,0)φ(x)dx=0　　(21)
其中ω(x,t)是具有致密支集的试函数.设在(x,t)平面上的不连续解，沿不连续曲线满足RH关系：
　　　f(u_R)-f(u_L)=S(u_R-u_L)　　　(22)
其中dx/dt=S.u_R,u_L分别为在不连续右方及左方函数值.由Olenik证明过解存在的熵条件
　　　(f(u)-f(u_L))/(u-u_L)≥S≥(f(u)-f(u_R))/(u-u_R).(u∈(u_L,u_R))　　　(23)
　　定义1　若式(23)中严格不等式成立时，则称此不连续为激波.
　　定义2　若式(23)中等号成立时，则称此不连续为接触不连续.
　　方程式(1)的黎曼问题及其求解，设方程式(1)在标量情形下对于下列初值问题:
　　　u(x,0)=u_L,(x<0),u(x,0)=u