百度网数学题选答39
2025-05-29 14:21阅读：
百度网数学题选答39
2024.8.10
16. 解方程组：xy+xz=255,xy+yz=31.
解：,xy+xz=255,
xy+yz=31.
这是个3元二次不定方程组，在实数范围内有无穷多解。
如果只求整数解，那么由，y(x+z)=31,
y=土1，x+z=土31，或y=土31，x+z=土1.
分别与联立，得
（i）y=1,z=31-x,x+x(31-x)=255,
由，x^2-32x+255=0,
解得
x=15或17，
(x,y,z)=(15,1,16),或(17,1,14);
(ii)y=-1,z=-31-x,-x+x(-31-x)=255,
由，x^2+32x+255=0,
解得x=-15或-17，
(x,y,z)=(-15,-1,-16),或(-17,-1,-14);
（iii）y=31,z=1-x,31x+x(1-x)=255,
由，x^2-32x+255=0,
解得x=15或17，
(x,y,z)=(15,31,-14),或(17,31,-16);
(iv)y=-31,z=-1-x,-31x+x(-1-x)=255,
由，x^2+32x+255=0,
解得x=-15,或-17，
（x,y,z）=（-15，-31,14）或(-17,-31,16).
17. 解方程组:a^3+b^2=1,a^2+b^3=1,ab≠0,a≠b.
解：b^2=1-a^3,b^3=1-a^2,
/，b=(1+a)/(1+a+a^2).
-，a^3-b^3+b^2-a^2=0,
(a-b)(a^2+ab+b^2-a-b)=0,a≠b,
∴a^2+a(b-1)+b(b-1)=0,
把代入，a^2+a(-a^2)/(1+a+a^2)+(1+a)(-a^2)/(1+a+a^2)^2=0,
两边都乘以（1+a+a^2）^2/a^2,得（a^2+1）(a^2+a+1)-a-1=0,
整理得a^4+a^3+2a^2=0,
化简得a^2+a+2=0,
解得a=(-1土√7i)/2,
1+a=(1土√7i)/2,1+a+a^2=-1,
代入，b=(-1干√7i)/2
(a,b)=((-1+√7i)/2,(-1-√7i)/2),或((-1-√7i)/2,(-1+√7i)/2)。
检验”a^2=(-3-√7i)/2,a^3=(5-√7i)/2,b^2=(-3+√7i)/2,a^3+b^2=1.
解2
设x=a+b,y=ab.
-，a^3-b^3+b^2-a^2=0,
(a-b)(a^2+ab+b^2-a-b)=0,a≠b,
∴x^2-y-x=0,y=x^2-x,
+，a^3+b^3+a^2+b^2=2,
X(x^2-3y)+x^2-2y=2,
把代入，x(-2x^2+3x)-x^2+2x=2,
整理得2x^3-2x^2-2x+2=0,
∴(x-1)^2(x+1)=0,
X=1或-1，
代入，y=0（舍）,或2
∴a+b=-1,ab=2.
解得(a,b)=((-1+√7i)/2,(-1-√7i)/2),或((-1-√7i)/2,(-1+√7i)/2)。
18.AD是∠BAC的平分线，圆D切AB于B.圆D交AD于O,连接AO并延长交AC于C,AO=3,OC=2,求圆O的面积。
解：以O为原点，OD为X轴，建立直角坐标系，设∠DOB=u.因DB=DO,故∠DBO=∠DOB,∠XOB=2u,
B(3cosu,3sinu),C(-2cosu,-2sinu),
作DE⊥OB于E,则OE=OB/2,圆D的半径r=OD=3/(2cosu),
圆D切AB于B,
∴DB⊥AB,
DB的斜率=tan2u,
∴AB的斜率=-cot2u,
AB:y-3sinu=-cot2u(x-3cosu)交x轴于A(3cosu+3sinutan2u,0)
AD是∠BAC的平分线，
∴AB与AC的斜率互为相反数，即2sinu/(5cosu+3sinutan2u)=cot2u,
∴2sinusin2u=5cosucos2u+3sinusin2u,
sinusin2u=-5cosucos2u,
tanutan2u=-5,
设x=tanu,则2x^2/(1-x^2)=-5,
2x^2=-5+5x^2,x^2=5/3,
圆D的面积S=πr^2=9π/（4cos^u）=(9π/4)(1+x^2)=9π/4*8/3=6π。
注:cos^u=(cosu)^2.
19.若x^2=y+2,y^2=x+2,x≠y，则x^3-2xy+y^3=?
解：-，(x-y)(x+y)=y-x,
由，x+y=-1,
X^3-2xy+y^3=x(y+2)-2xy+y(x+2)
=2(x+y)=-2.
20. 解方程：x^4+(x-4)^4=626.
解：设y=x-2,则原方程变为(y+2)^4+(y-2)^4=626,
2(y^4+24y^2+16)=626,
化简得y^4+24y^2-297=0
解得y^2=9或-33，
所以y=土3或土√33i,
于是x=5,-1,2土√33i.
21. 已知：x+1/y=1,y+2/z=1.求;2/x+z.
解：由，y=1-2/z,
代入，x+z/(z-2)=1,x=-2/(z-2),
所以2/x+z=2-z+z=2.
22. 解方程：4x^4-18x^3+28x^2-18x+4=0.
解：两边都除以x^2,得4(x^2+1/x^2)-18(x+1/x)+28=0,
设y=x+1/x,则4(y^2-2)-18y+28=0,
化简得2y^2-9y+10=0,
解得y=2或2.5，
所以x+1/x=2或x+1/x=2.5,
解得x=1,2,1/2.
23. 若x+1/x=-1,求x^2012+1/x^2012.
解：x+1/x=-1,
所以x^2+x+1=0,
X^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0,x^3=1,
2012=3×670+2，
所以x^2012+1/x^2012=x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2=(-1)^2-2=-1.
24.在长方形ABCD中，点E在边BC上，将CDE沿DE折叠，使得点C落在边AB上的点C’，连接DC’,EC’.点F是DC’的中点，BC=√7，且3∠AC’D=2∠BCF.求CD.
解：依题意CDEC'DE,
∴设C'D=CD=m,AD=BC=√7，
由勾股定理，AC'=√(m^2-7),
难以用初中数学知识和条件3∠AC'D=2∠BCF建立关于m的方程，只好用高中数学知识。
作FG⊥AC'于G,则FGAD,
F是C'D的中点，
∴FG=AD/2=√7/2，AG=GC'=√(m^2-7)/2,
设∠AC'D=u,∠BCF=v，
∴tanu=AD/AC'=√7/√(m^2-7),
tan2u=[2√7/√(m^2-7)]/[1-7/(m^2-7)]=2√[7(m^2-7)]/(m^2-14),
tan3u={√7/√(m^2-7)+2√[7(m^2-7)]/(m^2-14)}/{1-√7/√(m^2-7)*2√[7(m^2-7)]/(m^2-14)}
={√7（m^2-14）+2√7(m^2-7)}/[(m^2-28)√(m^2-7)]
=（3√7m^2-28√7）/[(m^2-28)√(m^2-7)]，
tanv=BG/(BC-FG)=[m-√(m^2-7)/2]/(√7/2)=[2m-√(m^2-7)]/√7，
tan2v=2{[2m-√(m^2-7)]/√7}/{1-[2m-√(m^2-7)]^2/7}
=2√7[2m-√(m^2-7)]/{7-[(5m^2-7-4m√(m^2-7)]}
=2√7[2m-√(m^2-7)]/[14-5m^2+4m√(m^2-7)],
由tan3u=tan2v得
（3√7m^2-28√7）/[(m^2-28)√(m^2-7)]
=2√7[2m-√(m^2-7)]/[14-5m^2+4m√(m^2-7)]，
（3m^2-28）[14-5m^2+4m√(m^2-7)]
=2[2m-√(m^2-7)][(m^2-28)√(m^2-7)],
182m^2-392-15m^4+(12m^3-112m)√(m^2-7)
=(4m^3-112m)√(m^2-7)-2(m^4-35m^2+196),
8m^3√(m^2-7)=13m^4-112m^2,m>√7，
8m√(m^2-7)=13m^2-112,
平方得64m^4-448m^2=169m^4-2912m^2+12544,
105m^4-2464m^2+12544=0,
m^2=(1232土448）/105=16或112/15（不满足，舍去），
∴CD=m=4。
25暑期档某一周周一到周日内共有
5 部电影要上映。已知每部电影的上映日期都不同，该周内不能连续 2 天无新电影上映，且 A
电影必须在周四前上映
（不含周四），问不同的上映方式有（ ）。
A.611 种
B.624
种 C.768 种
D.852
种.
解1
按周一到周日排序，A 电影必须在周四前上映
（不含周四），故A电影有3法，分三类：
1）A电影在周一，剩下4部电影排在剩下的6天，每部电影的上映
日期都不同，该周内不能连续 2
天无新电影上映，故把剩下的4部电影全排列，有4！=24法；剩下两天无新电影上映，插入4部电影的中间或两头的5个位置的两个，有C(5,2)=10法。此类有24×10=240法。
2）A电影在周二，
i)周一无新电影，把剩下的4部电影排在剩下的5天，有5！=120法；
ii)从剩下的4部电影中选1部电影排在周一，有4法；剩下3部电影全排列，有6法，剩下两天无新电影，插在后3部电影中间或两头的4个位置，有C(4,2)=6法。
此类有120+4×6×6=264法；
3）A电影在周三，
i）周一周二都上映新电影，有P(4,2)=12法，剩下2部电影，排在剩下的4天，有
xvvx,xvxv,vxvx……3×2=6法；
ii)周一周二只上映1部新电影，有4×2=8法；剩下3部电影排在剩下的4天有4!=24法。
此类有12×6+8×24=72+192=264法。
共有240+264+264=768法。选C.
解2
除A外的4部电影可全排列，有24法。
A被两个无电影日夹着，A在周一或周二，有2法；
A不被两个无电影日夹着，两个无电影日可排在上述4个电影之间及两头的5个位置中的两个，有C(5,2)=10法，A可在周一、周二、周三，有3法。由乘法原理，此类有10×3=30法。
所以，所求的放映方式有24×(2+30)=768种。选C.
26. 在斐波那契数列Fn中，若n是7的倍数，则Fn是13的倍数。
证：由F1=F2=1,F=F+Fn得F7=13,F14=377都是13的倍数。
设F<7k-7>,F<7k>是13的倍数，那么
F<7k+7>={[(1+√5)/2]^(7k+7)-[(1-√5)/2]^(7k+7)}/√5
={[(1+√5)/2]^(7k)-[(1-√5）/2]^(7k}}/√5*{[(1+√5)/2]^7+[(1-√5）/2]^7}+{[(1+√5)/2]^(7k-7)-[(1-√5）/2]^(7k-7}}
=29F<7k>+F<7k-7>也是13的倍数，
由数学归纳法，若n是7的倍数，则Fn是13的倍数。
注：[(1+√5)/2]^7+[(1-√5）/2]^7=2×（1+21×5+35×25+7×125）/2^7=1856/64=29.
27. 已知a^2-b^2=9,ab=20,求a+2b.
解：*20-*9，得20a^2-9ab-20b^2=0,
(4a-5b)(5a+4b)=0,
所以a=5b/4,或a=-4b/5,
把代入，得b^2=16,b=土4，
a+2b=13b/4=土13；
把代入，得b^2=-25,b=土5i,
a+2b=6b/5=土6i.
28. 求证:如果在8×8的棋盘上放一个1×1方块，那么无论这个1×1方块放在棋盘的什么位置，我们都可以用如图所示的L形三方块覆盖棋盘的剩余面积。
证：在8×8的棋盘上的第a行第b列放1个1×1的方块，不妨设1≤a,b≤4.剩下的部分可以用如图所示的L形三方块覆盖：
5个L形三方块可组成缺一个角(1×1的方块)的4×4的正方形，即两个缺口相连的L形三方块组成4×2矩形（缺2×1矩形），在2×1矩形上放1个L形三方块，再在它们的上方放两个L形三方块。
把上述3个缺一个角(1×1的方块)的4×4的正方形的缺口连在一起，
在这些缺口放1个L形三方块。
仿上，不妨设1≤a,b≤2.仿上，4个L形三方块可组成缺一个角(2×2的正方形)的4×4的正方形：
即两个缺口相连的L形三方块组成4×2矩形（缺2×1矩形），在2×1矩形上放1个L形三方块，再在它们的上方放1个L形三方块.
接下来，无论1×1的方块放在2×2的正方形的什么位置，剩下的图形就是1个L形三方块。
29.已知(ABCD)×4=（DCBA）,其中A,B,C,D是数字，A,D不为0.求A,B,C,D的值。
解：(1000A+100B+10C+D)×4=1000D+100C+10B+A,
4000A+400B+40C+4D=1000D+100C+10B+A,
3999A+390B=60C+996D,
两边都除以3，得1333A+130B=20C+332D,
A=1,D=4时变为5+130B=20C,1+26B=4C,无解；
A=2,D=8时变为10+130B=20C,1+13B=2C,B=1,C=7.
30.解方程：x+(x-1)/2019+(3-x)/2017=2020.
解：设a=2020,方程变为x-a+(x-1)/(a-1)+(3-x)/(a-3)=0,其解唯一，
· 观察得x=a=2020.
