高中数学学科“数学运算”素养培育之我见
2016-06-08 04:23阅读：
一、数学运算素养的基本内涵及意义
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。
数学运算素养主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。它是高中生必备的基本数学素养，也是高中生必须具备的最基础又是应用最广的一种能力。
运算素养包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维素养，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的素养以及实施运算和计算的技能。如：概括化记忆有关运算的基本知识；是否善于弄清问题中的基本数量关系，对问题的核心、类型、解法有一个最初定向；能否减化运算过程，优化运算环节；灵活地变换各种运算方法等。
数学运算素养有四个层次的要求：其一是运算结果的准确性，这是最基本的要求，其二是运算的合理性，它是运算素养的核心；其三是运算的熟练性，它是对考生思维敏捷性的考查；其四是运算的简捷性，它是运算合理性的标志，反映了思维的灵活性，深刻性和创造性。
在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
（二）为什么说数学运算素养是核心素养
1.各国家、地区和国际组织的观点
联合国教科文组织将会进行四则运算，作为
确定非文盲的最低标准之一。
包括美国、英国、澳大利亚在内的很多国家不约而同地对学生的核心素养予以界定，并致力于推行体现这些素养的国家课程。如：澳大利亚提出把计算(numeracy)作为各学科领域要关注的10大通用能力之一。
我国《中国公民科学素质基准》中提到中国公民须具备的九个方面的科学素质，其中排在第二位的就是公民的数学科学素质。这里提到的公民的数学科学基本素质包括了数学运算、推理和建模等等，可见运算素养在公民数学科学素质中的地位。
2.学术届的观点
从可持续发展教育角度观察，学习能力可划分为基础学习能力和可持续学习能力。运算能力是最重要的基础学习能力。
北京师范大学教授林崇德在《从智力到学科能力》的报告中提出：“要培养以数学与逻辑、人文与审美为核心素养的全面发展的人。”他认为：按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（计算器或电脑相关的软件）、简单的推理、画图及绘制图表等技能是数学的基本技能，数学运算能力是数学能力结构中的七个能力之一,是基本的数学素养内容,它是形成和发展成其他素养的前提。
3.数学课程标准的要求
《小学数学课程标准》中指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力是重要的基本技能，是“四基”（基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验）的重要组成部分。运算能力贯穿于整个小学数学学习过程，所以对运算能力的培养是数学教学中必不可少的环节。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
《普通高中数学课程标准》中指出：课程的总目标是“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。”其具体目标中提到要“提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。”
高考数学《考试说明》对运算能力的要求：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
对数学运算素养的考查不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。对考生运算素养的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算，代数式和某些超越式的恒等变形，集合的运算，解方程与不等式，三角恒等变形，数列极限的计算，求导运算，概率计算，向量运算和几何图形中的计算等。
由上述材料可以看出，运算能力是一项基本的数学能力，无论小学、初中还是高中都将其列为一项重要的数学能力。
此外，中学数学是一门以推理、演绎为主的学科,而运算是推理、演绎的重要工具。许多解决数学问题的奇思妙想也都往往要通过一定的计算才能体现。
虽然在物理、化学、生物、地理、政治、信息等学科的课程标准中对运算没有明确的目标要求，但解决上述学科中的许多问题离不开相关的运算，在这些学科中运算是一种重要的工具。
4.数学运算素养在现实生活中的重要性
运算不仅是数学的基础技能，而且是整个自然科学的工具。在学校学习时必须掌握运算这一个基本生存技能；在科研中，必须运用运算攻关完成课题研究；在国民经济，计算机及电子等行业取得突破发展都必须在数学运算的基础上。
生活已离不开数学，更离不开运算，对事物的定量分析和定性分析都要用到运算。随着信息技术的发展，运算更快捷、更准确、更方便，特别是云计算和大数据的出现，改变了传统的生活和思维方式，有着广阔的应用前景。由此可见，运算在生活中正发挥着越来越重要的作用。
5.数学运算素养在高中数学中的重要性
高中数学运算包括数的运算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算等等。在数学这一庞大的知识体系中，运算占有重要的地位，所有的知识板块几乎都与运算相关。运算是思维的“载体”，运算能力体现思维能力，是数学素质的一面镜子。运算素养作为数学素养的重要组成部分，在数学中越来越呈现出巨大的影响。数学运算素养是高中数学重要素养之一，运算素养的强弱是关系到数学学习成绩提高的一个重要因素，运算素养的高低是一个学生数学素质的综合体现。
在高考中，数学是公认的“拉分”学科。历年高考数学题中运算题型都占很大比例，当今课改地区的高考数学分数80%是靠运算获得。高考中的三角函数题，数列，立体几何题，解析几何题，函数与导数题，都要求很强的运算能力。很多考生都是由于运算能力欠缺导致分数难以提高，可以说运算能力是考生的硬伤。所以说，一定要通过提高数学运算素养，来应对“新高考”的挑战。
二、如何培育运算素养
（一）影响学生运算素养的因素
1.思想意识的不重视
在新课标的思想指导下，对数学中的运算方法和技巧降低了要求，对繁、难或技巧性比较大的内容和方法不作要求，有部分老师和学生就对计算能力的训练有所忽视，对提高运算能力缺乏足够的重视。他们总是把“粗心”“马虎”作为借口，忽视对要求稍高的运算的准确性，甚至有畏避心理。久而久之运算能力下降，严重影响数学的学习。
2.现行教材的原因
现行初中数学教材删除了一些繁、难、死、旧的知识，教学内容比前几年的教材的内容难度有所降低。如代数式的运算、因式分解、方程、二次函数、不等式等内容，从要求方面作了很大程度的降低。而现行的高中数学教材，有许多的代数、解析几何的内容又是建立在这些内容的基础之上的，并且在这些内容的要求上大大地超过初中的要求，更有一些内容初中就根本不学，这样教材的内容就大大的脱节，影响了学生运算素养的提高。
3.计算器的使用
随着科学技术的发展，计算器计算机等先进计算工具已日渐在人们的生活中普及，对许多简单的数字计算都由计算器来完成，势必弱化了计算的能力，无法形成数感，严重影响了人们对口算和笔算的认识。
4.固定的思维方法
固定的思维方法在运算中有积极的一面，也有消极的影响，固定的思维方法必然会出现思维的惰性，影响运算的速度，使运算过程繁冗不堪。如：死套公式，公式、法则不能灵活运用，而造成运算错误。
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5.缺乏比较意识
比较意识是解决问题的一个重要方向。解题时往往解决问题的途径很多，这就要求我们善于选优而从。有的学生缺乏比较意识，做题时往往找到一种方法就抱着死做下去，即使繁冗，也不在乎，忽略多种解法当中简捷方法的优先性。
（二）如何发展和提高运算素养
1.基本策略
（1）思想上重视运算素养的培养和提高
要认识到课标中对运算能力要求的降低是适当的降低，并不是不要运算，只是对一些繁、难、旧和技巧性强的内容作了适当的删减和调整，数学是建立在数量关系上的学科，有数量关系就必然有运算，有运算就对运算能力有所要求，没有运算素养学不好数学，也对其它学科的学习产生不利影响。
（2）合理安排教材内容，除统编教材外应有自己学校的数学校本教材
高中教学中的许多内容都涉及数与式的运算，而学生的运算比较差，许多学生出问题总是体现在运算上，严重影响高中数学成绩。这可能是初中数学内容对运算要求的降低，训练不到位所造成。如在多项式的运算教学内容中，初中现行教材已经把乘法公式中的立方和、立方差、两数和的立方、两数差的立方以及三数和的平方公式已经删除，只在习题中出现，要求学生能运用已学过的公式自行推导，但在高中数学教材中在许多地方都有要使用。再如方程的内容对一元二次方程的判别式、韦达定理要求很低，含有参变量一元二次方程、二元二次方程在初中都不作要求，而在高中的解析几何中，直线与圆锥曲线的位置关系中有很高的要求，而这部分内容又是高考的重点。又如因式分解的内容，初中也降低了要求，许多因式分解技巧都不讲解和训练，而在高中数学中分解因式的技巧，增项减项、十字相乘、双十字相乘法都有很高的要求。其次在函数的内容上，初中只要知道解析式，二次函数只要求简单的解析式和图象、对称轴方程及顶点坐标，而高考中函数思想方法，建立在二次函数基础之上的内容既深又广，学生很难适应。
根据以上分析，建议在高中开设校本课程，进一步进行数的运算训练，加强学生的心算、口算、速算能力
（3）适当限制使用计算器，使学生在运算中培养数感，从而形成数学运算能力
在数学的学习过程中，遇到计算问题要求学生尽量不用计算器，或规定什么内容可以用计算器，以促进学生数感的建立和数学素养的提高，从而提高学生的运算素养。
（4）学会估算
在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算，因此应当让学生知道估算。
（5）培养运算能力必须有层次地进行
运算能力是一种综合能力,它与记忆能力、理解能力、推理能力等一系列能力密切相关,运算素养的培养不可能独立进行，一定要结合其它能力有层次地进行。
（6）重视错题分析。
学生计算出现了错误，要及时引导学生认真分析计算错误的原因，寻找错误的根源，及时改正过来。对于重复犯的某种错误，可以有针对性地选择常见的典型错例，组织学生一起观察、思考、分析、交流，通过集体“会诊”，既达到“治病”作用，又可以起到“防病”的作用。作业中的错误，若是共性的，可集体纠正；若是个别的，要让学生自己改正过来，并认真分析出现错误的原因，以免今后再出同类错误。学生还可以自己收集错题，做成一本错题集，经常复习察看，以防出现类似的错误。
（7）数学教学中做到“算理”与“算法”的融会贯通
算理是运算的理论依据，而算法则是依据算理提炼出来的运算规律和方法，它是算理的具体体现。可见，算理和算法是相辅相成的，在学科教学中既不能“重算法，轻算理”也不能“重算理，轻算法”。
总之，学生在平时的学习和训练中，要在思想上重视运算素养的培育，尽量少地运用计算器，加强口算、心算、笔算、速算、估算的训练，课堂教学中不忘运算方法、运算技能的分析和讲解，重视错题的分析，重视“算理”和“算法”，从而提高学生的运算素养，为学生学好数学和其它学科打下坚实的基础。
2.实施途径和办法
第一，巩固基础。作为高中生，数学难度比小学和初中要高很多，所以在日常学习中一定要准确理解和牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响运算的准确性。为了提高运算的速度，一定要收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和敏捷性，也只有这样，运算的功底才能巩固，高考时才能稳中求胜。
第二，加强运算练习。为了有效的提高学生的运算能力就必须加强练习，练习要有目的性、系统性、典型性。通过一题多变、一题多改、一题多解、一法多用，培养运算的熟练性、准确性、灵活性。
第三，提高运算中的推理能力。运算的实质是根据运算定义及性质，从已知数据及算式推导出结果的过程，也是一种推理的过程。运算的正确性与否取决于推理是否正确，如果推理不正确，则运算就出错。运算中的推理能力是建立在熟能生巧的基础上，只有练得多了、总结的多，才能有更多的运算心得，这也会在无形中帮助考生熟练掌握运算中的推理能力。
第四，养成验算的习惯。做完题目应该对运算的过程和结果进行检验，以便及时纠正运算过程或结果中出现的错误。要掌握验算方法，保证考试解题的正确率。验算的方法通常有：还原法、代值法、估值法、逆运算等。
第五，引导学生提炼数学思想方法。数学思想是沟通数学知识与运算能力的桥梁。学生有没有掌握数学思想，其运算能力大不一样，掌握了思想，领悟了实质，则运算能力处在一个较高的水平上，处理问题时表现得简洁、利落。教学中，只有不断引导学生从数学知识与数学方法中提炼数学思想，并注重运用数学思想去分析问题与解决问题，才是完善数学知识及学生认知结构，培养与提高学生运算能力的一条行之有效的途径。
第六，培养学生良好的心理素质。数学运算具有艰巨性，没有良好的心理素质，不能成功地完成运算。数学运算涉及的几乎都是数、式、符号等的各种变形和推导，内容很枯燥、情况很复杂，有的题要多步运算和推理才能出结果，其间，还要随时判断解题的发展方向，抉择运算的途径，分析各种可能的情形，稍不小心，就会出错，影响结果。所以，要经常做学生的思想工作，明确学习目的，端正学习态度。要鼓励他们的每一点进步。对待运算题，要求学生做到：做题前要有信心，做题时要细心，遇到问题要耐心，认真分析题意，寻找解题途径，顽强克服困难，仔细检查每一步运算，做到正确、迅速。
第七，教学中要注意展现思维过程和运算过程。目前高中数学教学中存在一种不科学的做法，把运算结果用幻灯片放在屏幕上，学生并不知道怎样合理运算。其实运算过程需要老师引导学生观察、分析，寻找合理的算法。计算机只能作为辅助手段。
三、运算素养的评价
对运算素养的评价可采取“自评”、“互评”和“师评”相结合方式。“自评”即让学生自已对照评价指标作一个简要的自我评价，对自已做一个主观性的定位和评价；“互评”即让同学之间进行相互评价；“师评”是教师综合各方面情况，结合考试成绩并参考学生平时的表现，相对客观地给学生做出评价。评价时主要的参考指标包括运算的确准确度、熟练度、简捷度和创新度。
