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卷积积分（转）

2007-10-17 11:30阅读：

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卷积积分
　
一、 定义
设有两个任意的时间函数，例如 和 (α为大于零的实常数)，其波形分别如图2-12(a)，(b)所示。利用图解法进行如下五个步骤的运算，从而引出卷积积分的定义。
　
卷积积分（转）
(1) 将函数 ， 中的自变量 改换为 ，从而得到 ， ，这并不影响函数的图形，因为函数的性质和图形与自变量的字母符号无关，故其波形仍如图2-12(a)，(b)所示。
(2) 将函数 以纵坐标轴为轴折叠，从而得到折叠信号 ，如图2-12(c)所示。
(3) 将折叠信号 沿 轴平移 ， 为参变量，从而得到平移信号 ，如图2-12(d)所示。 t＞0时为向右平移， t＜0时为向左平移。
(4) 将 与 相乘， 从而得到相乘信号 ， 其波形如图2-12(e)所示。
(5) 将函数 在区间(-∞， ∞)上积分得
　
由于积分变量为τ，其积分结果必为参变量 的函数，故用 表示。该积分就是相乘函数 曲线下的面积（图2-12(e)中画斜线的部分）。上式所表述的内容即称为函数 与 的卷积积分，用符号“*”表示，即
(2-15)
　
读作 与 的卷积积分，简称卷积。
观察图2-12(e)可见，当τ＜0-和τ＞t时，被积函数 ，这是因为 ， 均为因果函数的缘故。故式(2-15)中的积分限可改写为(0-， t)，即
(2-16)
　
但要注意，卷积积分的严格定义式仍然是式(2-15)，即积分的上下限仍然是(-∞， ∞)。
若将 ， 代入式(2-16)中，并积分即得
　

　

　
y(t)的曲线如图2-12(f)所示，称为卷积积分曲线。
求卷积积分时，积分上下限的确定是关键，也是难点，读者应通过做题仔细揣摩。
　
*二、 卷积积分上下限的讨论
　
卷积积分的严格定义应如式(2-15)所示，其积分的上下限应为区间(-∞， ∞)。但在具体计算时，积分的上下限可视函数 与 的特性而做些简化。
(1) 若 和 均为因果信号，则积分的上下限可写为(0-， t)，即

　
(2) 若 为因果信号， 为无时限信号，则积分的上下限可写为(0-, ∞)，即
　
(3) 若 为无时限信号， 为因果信号，则积分的上下限可写为(-∞， t)，即
　
(4) 若 和 均为无时限信号，则积分的上下限可写为(-∞， ∞)，即
　
三、 运算规律
　
卷积积分的运算遵从现代数学中的一些运算规律。关于这些运算规律，留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。
（1） 交换律
　
（2）分配律

　
（3） 结合律

　
四、 主要性质
　
卷积积分有一些重要性质，深刻理解和掌握这些性质将对卷积的计算带来极大简便。关于这些性质，也留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。
　
1. 积分
　
2. 微分
　
3. 的微分与 的积分的卷积
应用性质2， 3的充要条件是必须有 。证明如下：
因有
可见，只有当 时才会有 。
　
对 要求的条件也是一样，即 。
4. 与 的卷积
　
推论
　
　
　
5. 与 的卷积
　
　
6. 与 的卷积
　
　
推论
　
　
7.时移性
设 ，则有

证明 因有
　
　
故
　
　
　
证毕
　
最后需要指出，上面所研究的卷积积分，其前提是卷积积分必须存在，即必须有 。若卷积积分不存在，即当 时，则卷积积分就没有意义了。
　
五、 常用的卷积积分表
　
常用的卷积积分如表2-2所列。
　
表2-2卷积积分表
　

序号


1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


　
例2-13求图2-13(a), (b)所示两函数的卷积积分 ，并画出 的波形，其中 。
解因
当t＜0时
　
　
当t＞0时
　
故得
　
y(t)的波形如图2-13(c)所示。
　
卷积积分（转）
例2-14求图2-14所示两函数的卷积积分 。
　
卷积积分（转）
解
　

　
　
　
例2-15已知 。求 。
　

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