要把增乘开方升级到解一元高次方程,有三道坎要越过:
一、布局。
贾宪增乘开方及杨辉算草的增乘开平方布局从上至下依次为商、实、廉、下法,这就像放动画片,我们
只看到最后一帧,即使倒片,也只能看到一帧帧孤立的画面,给初学者和不熟练者带来很大困难。比较
而言,用现代除法的形式开平方布局最优。
秦九韶开平方布局从左到右依次为商、下法、廉、实;解一元二次方程布局从左到右依次为商、高次幂
系数、低次幂系数、常数。
二、退位问题。
增乘开平方每算完一位商后,廉退一位,下法退二位,再算下一位商,因为廉初值=0,在退位前并不参
与运算,甚至实后面的节也并没有真正参与运算,只在需要时才搬出来。增乘开方没有提到'实'分节的问
题,实际运作中,开平方从个位起每两位一节,每节对应一位商。如12345分节为:1'23'45
贾宪只取初商、次商等的数码乘以下法,乘以廉,由于有下法的定位,省略了定位后面的很多0,简化了
计算。但是这个优点在解一元二次方程中却成了一个问题,秦九韶采用直接的方法解决了这个问题。假
设初商是200,就用200乘以下法、乘以廉,这样就可以直接与廉初值相加,完全抛弃“退位”的做法。
三、实的正负问题。
贾宪的增乘开方在实的表述上有瑕疵。增乘开立方看得更明显。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方从实减去,得新实。
前面都是乘、加,而到实,却变成乘、减。
秦九韶把实从等号右边移到等号左边,这样实由正变负。x^3=125 变成 x^3-125=0,
这一变,贾宪的增乘开方在表述上就更完美了。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方加入实。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,
初商乘以下法加入廉,
方退一位,廉退二位,下法退三位。
再算次商,
次商乘以下法加入廉,次商乘以廉加入方,次商乘以方加入实。
……
这一变,贾宪的增乘开方过渡到解一元高次方程就水到渠成了。
x^3-125=0→x^3+0x^2+0x-125=0→添加x^2和x项的系数值,得x^3+2x^2+
一、布局。
贾宪增乘开方及杨辉算草的增乘开平方布局从上至下依次为商、实、廉、下法,这就像放动画片,我们
只看到最后一帧,即使倒片,也只能看到一帧帧孤立的画面,给初学者和不熟练者带来很大困难。比较
而言,用现代除法的形式开平方布局最优。
秦九韶开平方布局从左到右依次为商、下法、廉、实;解一元二次方程布局从左到右依次为商、高次幂
系数、低次幂系数、常数。
二、退位问题。
增乘开平方每算完一位商后,廉退一位,下法退二位,再算下一位商,因为廉初值=0,在退位前并不参
与运算,甚至实后面的节也并没有真正参与运算,只在需要时才搬出来。增乘开方没有提到'实'分节的问
题,实际运作中,开平方从个位起每两位一节,每节对应一位商。如12345分节为:1'23'45
贾宪只取初商、次商等的数码乘以下法,乘以廉,由于有下法的定位,省略了定位后面的很多0,简化了
计算。但是这个优点在解一元二次方程中却成了一个问题,秦九韶采用直接的方法解决了这个问题。假
设初商是200,就用200乘以下法、乘以廉,这样就可以直接与廉初值相加,完全抛弃“退位”的做法。
三、实的正负问题。
贾宪的增乘开方在实的表述上有瑕疵。增乘开立方看得更明显。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方从实减去,得新实。
前面都是乘、加,而到实,却变成乘、减。
秦九韶把实从等号右边移到等号左边,这样实由正变负。x^3=125 变成 x^3-125=0,
这一变,贾宪的增乘开方在表述上就更完美了。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方加入实。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,
初商乘以下法加入廉,
方退一位,廉退二位,下法退三位。
再算次商,
次商乘以下法加入廉,次商乘以廉加入方,次商乘以方加入实。
……
这一变,贾宪的增乘开方过渡到解一元高次方程就水到渠成了。
x^3-125=0→x^3+0x^2+0x-125=0→添加x^2和x项的系数值,得x^3+2x^2+
