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从贾宪到秦九韶,增乘开方升级到解一元高次方程的正根

2014-11-24 13:34阅读:
要把增乘开方升级到解一元高次方程,有三道坎要越过:
一、布局。
贾宪增乘开方及杨辉算草的增乘开平方布局从上至下依次为商、实、廉、下法,这就像放动画片,我们
只看到最后一帧,即使倒片,也只能看到一帧帧孤立的画面,给初学者和不熟练者带来很大困难。比较
而言,用现代除法的形式开平方布局最优。
秦九韶开平方布局从左到右依次为商、下法、廉、实;解一元二次方程布局从左到右依次为商、高次幂
系数、低次幂系数、常数。
二、退位问题。
增乘开平方每算完一位商后,廉退一位,下法退二位,再算下一位商,因为廉初值=0,在退位前并不参
与运算,甚至实后面的节也并没有真正参与运算,只在需要时才搬出来。增乘开方没有提到'实'分节的问
题,实际运作中,开平方从个位起每两位一节,每节对应一位商。如12345分节为:1'23'45
贾宪只取初商、次商等的数码乘以下法,乘以廉,由于有下法的定位,省略了定位后面的很多0,简化了
计算。但是这个优点在解一元二次方程中却成了一个问题,秦九韶采用直接的方法解决了这个问题。假
设初商是200,就用200乘以下法、乘以廉,这样就可以直接与廉初值相加,完全抛弃“退位”的做法。
三、实的正负问题。
贾宪的增乘开方在实的表述上有瑕疵。增乘开立方看得更明显。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方从实减去,得新实。
前面都是乘、加,而到实,却变成乘、减。
秦九韶把实从等号右边移到等号左边,这样实由正变负。x^3=125 变成 x^3-125=0,
这一变,贾宪的增乘开方在表述上就更完美了。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,初商乘以方加入实。
初商乘以下法加入廉,初商乘以廉加入方,
初商乘以下法加入廉,
方退一位,廉退二位,下法退三位。
再算次商,
次商乘以下法加入廉,次商乘以廉加入方,次商乘以方加入实。
……
这一变,贾宪的增乘开方过渡到解一元高次方程就水到渠成了。
x^3-125=0→x^3+0x^2+0x-125=0→添加x^2和x项的系数值,得x^3+2x^2+
5x-1250=0之类的方程,
→-2x^3+2x^2+5x+1250=0→...
名称对应如下:
ax^3+bx^2+cx+d=0
下法→a、廉→b、方→c、 实→d,这也是各数的初值。

一元二次方程ax^2+bx+c=0分四种情况讨论
一、当a=1,b=0,c<0时,方程变为x^2+c=0,相当于开平方
例如:x^2-151.29=0
计算程序 x^2项   x项 常数项
x=p+q+… a   b c
    1   0 -151.29
b=b+pa c=c+pb 初商p 10 1 乘积 10 100.00
  加和 10 -51.29
b=b+pa   10 1 乘积 10  
    加和 20  
b=b+qa c=c+qb 次商q 2 1 乘积 2 44.00
  加和 22 -7.29
b=b+qa   2 1 乘积 2  
      加和 24  
b=b+ra c=c+rb 三商r 0.3 1 乘积 0.3 7.29
    加和 24.3 0.00
b=b+ra   0.3 1 乘积 \  
      加和 \  
x=12.3
二、当a=1,b≠0时,方程变为x^2+bx+c=0
例如:x^2+2x-200=0
计算程序 x^2项   x项 常数项
x=p+q+… a   b c
    1   2 -200.00
b=b+pa c=c+pb 初商p 10 1 乘积 10 120.00
  加和 12 -80.00
b=b+pa   10 1 乘积 10  
    加和 22  
b=b+qa c=c+qb 次商q 3 1 乘积 3 75.00
  加和 25 -5.00
b=b+qa   3 1 乘积 3  
      加和 28  
b=b+ra c=c+rb 三商r 0.1 1 乘积 0.1 2.81
    加和 28.1 -2.19
b=b+ra   0.1 1 乘积 0.1  
      加和 28.2  
b=b+sa c=c+sb 四商s 0.07 1 乘积 0.07 1.9789
    加和 28.27 -0.2111
……
x=13.17…
三、当a≠1,b≠0时,方程为ax^2+bx+c=0
例如:3x^2+2x-160545=0
计算程序 x^2项   x项 常数项
x=p+q+… a   b c
    3   2 -160545.00
b=b+pa c=c+pb 初商p 200 3 乘积 600 120400.00
  加和 602 -40145.00
b=b+pa   200 3 乘积 600  
    加和 1202  
b=b+qa c=c+qb 次商q 30 3 乘积 90 38760.00
  加和 1292 -1385.00
b=b+qa   30 3 乘积 90  
      加和 1382  
b=b+ra c=c+rb 三商r 1 3 乘积 3 1385.00
    加和 1385 0.00
b=b+ra   1 3 乘积 \  
      加和 \  
x=231
以上都是a>0的情况,有个特点,常数项由负数逐步趋于0,
严格说,负数不包括初始常数项。当x项为负数时,
初始常数项可以为正。但是次始常数项必为负。
四、当a<0,b≠0时,方程为ax^2+bx+c=0
程序解x正根时,次始常数项由正数逐步趋于0
例如:-3x^2-2x+160545=0
计算程序 x^2项   x项 常数项
x=p+q+… a   b c
    -3   -2 160545.00
b=b+pa c=c+pb 初商p 200 -3 乘积 -600 -120400.00
  加和 -602 40145.00
b=b+pa   200 -3 乘积 -600  
    加和 -1202  
b=b+qa c=c+qb 次商q 30 -3 乘积 -90 -38760.00
  加和 -1292 1385.00
b=b+qa   30 -3 乘积 -90  
      加和 -1382  
b=b+ra c=c+rb 三商r 1 -3 乘积 -3 -1385.00
    加和 -1385 0.00
b=b+ra   1 -3 乘积 \  
      加和 \  
x=231

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