三维空间中的一个球面，如果允许穿过自身，但是不能撕裂或产生尖锐边缘，能否通过平滑的变形，把内表面翻过来朝外？
为了进一步说明规则，我们先看一个简单的情形。 平面上的一个圆圈，如果允许穿过自身，但不能断开或产生尖点，能否通过平滑的变形，把内侧变为外侧？
一个容易产生的误解是，认为只需将圆圈的左右两侧靠拢并互相穿过，即可把内侧变为外侧。但事实上，在我们的规则下，两侧互相穿过时产生的两个小圈是无法消除的。一种似是而非的论证是，可以把两个小圈无限缩小最终变成一个点进而消除它们。但这一过程实际上并不平滑。想象一个在圆圈上以固定速度运动的物体，随着小圈无限缩小，它通过小圈时的离心力趋于无穷大，但在小圈变为一点的一瞬间，它在该点的离心力突变为大圈上的离心力。这一过程显然是不平滑的。我们的规则排除了这种情况。
事实上，在上述规则下，不可能把圆圈内侧变为外侧。为证明这一点，我们引入一个概念——有向闭曲线的旋转数。
首先，我们把圆圈变成一条“单行道”，比如规定为逆时针方向。那么此时内侧就是定向的左侧。然后，我们让圆圈按照规则任意变形，并在变形过程中保持“单行道”的定向。这样我们得到一条有向闭曲线。现在，我们选定一个方向，比如正右方向（正东方向），然后找到该曲线上所有定向朝向正右方向的点。考虑在这些点处的离心力方向，我们规定：
旋转数=【离心力方向向下的点的个数】—【离心力方向向上的点的个数】。
一点处离心力方向向下，即在该点附近的曲线像一个笑容；反之，则像一个愁容。旋转数等于笑容的个数减去愁容的个数。
不难想象，当一个“笑容”点和一个“愁容”点相互靠近，它们可以合为一个离心力为零的点，然后消失。即在这段曲线上没有定向朝向正右方向的点。反过来，当变形产生一个“笑容”点时，必定也同时产生一个“愁容”点。因此，旋转数在变形中保持不变。初始的圆圈定向为逆时针方向，不难看出它的旋转数为1。因此，它只能变形为旋转数为1的有向闭曲线。然而，把内侧变为外侧即是说把定向的左侧变为外侧，这相当于新的圆圈的定向为顺时针。然而定向为顺时针的圆圈旋转数为-1。因此，在我们的规则下，不可能把圆圈内侧变为外侧。
那么，平面上的圆圈不能把内侧翻为外侧，难道三维空间中的球面却可以吗？是的，这确实是个令人惊异的事实。但实际上，有许多几何性质都与空间的维度有关。例如，
为了进一步说明规则，我们先看一个简单的情形。 平面上的一个圆圈，如果允许穿过自身，但不能断开或产生尖点，能否通过平滑的变形，把内侧变为外侧？
一个容易产生的误解是，认为只需将圆圈的左右两侧靠拢并互相穿过，即可把内侧变为外侧。但事实上，在我们的规则下，两侧互相穿过时产生的两个小圈是无法消除的。一种似是而非的论证是，可以把两个小圈无限缩小最终变成一个点进而消除它们。但这一过程实际上并不平滑。想象一个在圆圈上以固定速度运动的物体，随着小圈无限缩小，它通过小圈时的离心力趋于无穷大，但在小圈变为一点的一瞬间，它在该点的离心力突变为大圈上的离心力。这一过程显然是不平滑的。我们的规则排除了这种情况。
事实上，在上述规则下，不可能把圆圈内侧变为外侧。为证明这一点，我们引入一个概念——有向闭曲线的旋转数。
首先，我们把圆圈变成一条“单行道”，比如规定为逆时针方向。那么此时内侧就是定向的左侧。然后，我们让圆圈按照规则任意变形，并在变形过程中保持“单行道”的定向。这样我们得到一条有向闭曲线。现在，我们选定一个方向，比如正右方向（正东方向），然后找到该曲线上所有定向朝向正右方向的点。考虑在这些点处的离心力方向，我们规定：
旋转数=【离心力方向向下的点的个数】—【离心力方向向上的点的个数】。
一点处离心力方向向下，即在该点附近的曲线像一个笑容；反之，则像一个愁容。旋转数等于笑容的个数减去愁容的个数。
不难想象，当一个“笑容”点和一个“愁容”点相互靠近，它们可以合为一个离心力为零的点，然后消失。即在这段曲线上没有定向朝向正右方向的点。反过来，当变形产生一个“笑容”点时，必定也同时产生一个“愁容”点。因此，旋转数在变形中保持不变。初始的圆圈定向为逆时针方向，不难看出它的旋转数为1。因此，它只能变形为旋转数为1的有向闭曲线。然而，把内侧变为外侧即是说把定向的左侧变为外侧，这相当于新的圆圈的定向为顺时针。然而定向为顺时针的圆圈旋转数为-1。因此，在我们的规则下，不可能把圆圈内侧变为外侧。
那么，平面上的圆圈不能把内侧翻为外侧，难道三维空间中的球面却可以吗？是的，这确实是个令人惊异的事实。但实际上，有许多几何性质都与空间的维度有关。例如，