第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步
2008-08-16 10:32阅读：
（领先考研数学暑期讲义以及答案）
第一部分 三重积分
一、 三重积分的概念与性质（类似二重积分
二、三重积分的计算
1） 直角坐标下计算三重积分
（i）“先一后二”法
若 ，则
（ii）：“先二后一”法(适用于旋转体或垂直于某轴的截面的面积为已知的情形2）
柱面坐标下
3）球面坐标系下
三、三重积分的对称性
1） 对称性 若 关于xoy(z=0)平面对称，而 是 中对应于
的部分，则
关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果.
2） 轮换对称性
若 为： ，（或
则
四、重积分的应用**
1 曲面的面积 ，S=
2 质量 （其中 为密度函数，下同）
3 重心 ， ，
4 转动惯量
5 引力：空间立体 对位于点 处的单位质点引力
其中
五、典型题型与例
例1 化 为三次积分，其 中W为 及 所围成的闭区域
解：
例2 计算 , 其中W为平面曲线
绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。
[解]
例3* 计算 , 其中W是由圆柱面 ,旋转抛物面 所围成的区域。
[解]
例4 计算
[解]
例5 计算 ，其中W 是由 和 所围空间闭区域。
解：
例6* 设密度为1的立体 由不等式 表示，试求 绕直线x=y=z的转动惯量.
[分析] 点 到直线 的距离为
[解] 质点m对直线L的转动惯量为 ，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方
所求转动惯量为
=
=
=
例7* 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求
[解] =
第二部分 曲线、曲面积分及场论初步
一、 考试内容与要求
(一) 两类曲线积分
1 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即
2) 可加性
2对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即
2) 可加性
注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。
3 两类曲线积分之间的联系
(1)
是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。
(2)与（1）类似：
(二) 两类曲面积分
1
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)（07考）
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与曲面 的侧面选择无关，即，其中－ 为曲面 的另一侧
2)可加性 ,
其中
2对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即
2) 可加性
， 其中
3 两类曲面积分之间的联系
=
其中 为曲面 在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
(三) 场论初步
1 方向导数
设三元函数
在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为 ，则
2 梯度(gradu)
设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad
注：沿梯度方向的方向导数为
3 散度(div )
设 , 则 div
4 旋度(rot )
设 , 则
rot
5 流量**
设有向量场 ，F沿定向曲面S的流通量为
= .
二、 重要公式与结论
1 格林公式
设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则
其中L是D的边界曲线且取正向。
注： P,Q及其一阶偏导数要求连续，
‚
L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。
2 高斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，
则
其中 是闭域W的边界曲面的外侧。
注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续，
‚
应取外侧。
3 斯托克斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面
所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面 的边界曲线，则
=
其中曲线L的方向与曲面 所取侧的法线方向满足右手法则。
4 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则
1)
2)
3) L为D中任一简单分段光滑封闭曲线Û
4) 存在函数u(x,y)，(x,y)ÎD, 使du(x,y)=Pdx+Qdy,
此时
，它与路径无关Û
5） 是全微分方程，此时期通解为 。
三、 典型题型与例题
重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！
题型1
对弧长的曲线积分的计算方法
方法： , (注：a<b), 则
特别有 ‚
ƒ
注：第一类曲线积分具有对称性：
1） 设L关于x=0对称，则
L1是L的右半部分
2） 设L关于y=0对称，则
3） 轮换对称性：若x与y互换，L不变，则
例1 （理工P249例8、5）计算
[解]
例2（理工P250例8、8） 计算
例3 已知连续函数 ，求 ，其中 为 与 的交线。
题型2 对坐标的曲线积分的计算方法
方法：
参数法 设L: x=x(t), y=y(t), t:
, 则
注意特例：L: x=x,
y=y(x), 或L: x=x(y), y=y
‚ 格林公式
注意含奇点的处理！
ƒ
若L不闭，加边L1，使L+L1闭合，再用格林公式：
,
注意L1的方向！
„ 若 ，则可用积分与路径无关求解
注：空间曲线积分常用方法：参数法或Stokes公式，但参数法往往更简单。
例4 （理工P250例8、9） 计算
[解]
例5 （理工P250例8、10）计算
其中L是以(1,0)为中心，半径为R(>0,R¹1)的正向圆周。
[解]
比较（07-1）：设曲线 过第二象限点M和第四象限N，
是L上从M到N的一段弧，则下列积分小于0的是[ ]
A ， B ， C ， D
例6 （04数1）计算
其中L为正向圆周 在第一象限的部分。
[解] （三种方法）
法一：
比较*（08-1）计算曲线积分 , 其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点 的一段.
【详解1】 =
=
=
【详解2】 添加x轴上从点 到点(0,0)的直线段 , D为L与
围成的封闭区域, 则
=
=
=
=
【评注】封闭曲线 取负向, 所以用格林公式时应注意前面取负号.
例7 （理工P251例8、12）计算 其中L为自点A(-1,0)沿
至B(2,3)的弧段。
解]
例8* 设函数f(x,y)在区域D： 上有二阶连续偏导数，且
, 证明
证
=
=
=
其中 是半径为r的圆.
例9 （理工P252例8、15）（逆问题) 已知曲线积分 ，其中
是非负可导函数且 , L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出 及A.
解
例10*(逆问题)设x>0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x>0)内任意闭曲线C有
1）求f(x);
2)计算 其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧
[解] 1）由题设，得
由 解得
2）因积分与路径无关， 选取沿 路径
例11* 已知 ，试确定 使方程
成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件 的特解.
[解] ， ，
由 ，
即
.
令 ，则 ，即
对应齐次方程组的通解为
设特解为 ，
即有
由 ，得 故
题型3 对面积的曲面积分的计算
计算步骤：
‚
注：第一类曲面积分具有对称性：
设Σ关于x=0对称，则
Σ1是Σ的 部分
类似地有关于y=0,z=0的对称性情形
轮换对称性：若x，y，z互换，Σ不变，则
例12 设有曲面 ,它的面密度为 ,求它的质量.
[解]
例13* （理工P254例8、19）计算曲面积分 ，其中 为球面：
[解] 由对称性有
故
题型4 对坐标的曲面积分的计算方法
直接利用与第一类曲面积分的关系
‚矢量点积法（投影轮换法）
设 , 则 的法矢量为 , 于是由上述公式知
若题设 的侧与 一致取正，否则取负。
特别：
或
注：若投影为xoy平面上一条直线，则
ƒ 利用高斯公式
1) 闭，且P、Q、R有连续一阶偏导
2) 非闭+ 为闭，则
注意侧的选择
例14（理工P257例8、24） 计算 ，其中 是锥面 被平面z=1和z=2所截出部分的外侧。
[解]
比较 * （i）（07-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）
（ii）（08-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。 （答案： ）
（iii） (98数1) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，a为大于0的常数。
[解] 先化简补 , 其法向量与z轴正向相反，从而得
=
=
例15 设 ，求积分，其中 是向量场 的旋度，S是锥面 在xoy平面上方的部分，单位法向量
指向锥外.
[解]
例16* 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S
,都有其中函数f(x)在(0,+¥)内具有连续的一阶导数，且 求f(x).
[解] 由题设和高斯公式得其中 为S围成的有界闭区域，
号对应曲面取外侧或内侧。由S的任意性，知 . 即 ， 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
由于 故必有 ，即C+1=0，从而C= -1.
因此有
例17 计算 ，其中
1) 是球面： 外侧，
2) 是不含原点在其内部的光滑闭曲:
外侧，
3) 是含原点在其内部的光滑闭曲面: 外侧
[解]
例18*．设 是以 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数 使曲面积分
与曲面 的形状无关。
解：以 为边界任作两个光滑曲面 ， 的法向量指向同一侧。记 为 所围闭曲面，取外侧， 所围区域为口。依题意 ，( 的反向)
由高斯定理
è
代入上式
==〉
==〉 ==〉
第三部分
多元函数的在几何上的应用
1 方向导数与梯度
设z=f(x,y,z), 单位方向向量
则方向导数：
梯度：
注：① 为方向导数的最大值。
②
2 空间曲线G的切线和法平面
如果 在 处可微，则L在 的切线：
法平面：
3
空间曲面S：F(x,y,z)=0 的切平面和法线
函数 在 处可微 S在点 存在切平面和法线，并且 过点 的切平面：
法线：
例1* 过曲面 上点 处的指向外侧的法向量为 ,求函数 在点P0处沿方向 的方向导数.
[解] F(x,y,z)= ,
外法线方向余为
又
例2*设函数f(x,y)在点（0，0）附近有定义，且 ，则
（A）
（B） 曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}.
（C） 曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}.
（D）曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.
[ C ]
[解]
题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于(B),(C),(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,z)=z-f(x,y)
,则有
因此过点(0,0,f(0,0))的法向量为±{-3,-1,1}，可排除(B)；曲线 可表为参数形式：
，其在点(0,0,f(0,0))的切线方向向量为 ，故正确选项为（C）.
【注】 由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分，因此，不一定能保证曲面z=f(x,y)在相应点
处存在切平面，因此即使将选项(B)换为法线向量（3，1，-1）或（-3，-1，1），选项(B)依然为错。
例3* 求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线
[解] 令 ，则
， ，
椭球面在点 处的切平面 的方程为
即
因为平面 过直线L,故L上的任两点，比如点 应满足 的方程，代入有 又因
联立求解以上三个方程，得到 故所求切平面 的方程为 x+2z=7 和
x+4y+6z=21.
例4* 求曲面 平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程.
[解] 令 ，则 设切点为 ，则切平面方程为
，
它与题给平面平行，有
和
由此得切点坐标为 故所求切平面方程为2x+2y-z-3=0.
例5* 确定常数 ，使在右半平面x>0上的向量
为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).
【分析】 平面单连通区域内向量场 为某二元函数u(x,y)的梯度，相当于有 ，从而 ，由此可定出
在此基础上，根据积分与路径无关可得
[解] 令 ， ，由题设，有
，即
可见，当且仅当 时，所给向量场是梯度场.
在x>0的半平面内任取一点，比如(1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有
= 其中C为任意常数.
【评注】 向量场 是梯度场 =
是全微分方程
积分 与路径无关
例6* 设直线 在平面 上，而平面 与曲面： 相切于点(1,-2,5)，求a,b之值.
[解] 在点(1,-2,5)处曲面的法向量 ，故切平面即平面 的方程为
2x-4y-z-5=0
(1)
直线 的方向向量为
于是
由于直线
在平面 上，故满足式(2)和式(3)的x,y,z必满足式(1). 实际上，式(2)加式(3)得
2x-4y-z+b-3=0,
与式(1)比较，得b-3=-5，即b=-2
第一部分 三重积分
一、 三重积分的概念与性质（类似二重积分）
二、三重积分的计算
1） 直角坐标下计算三重积分
（i）“先一后二”法
若 ，则
（ii）：“先二后一”法(适用于旋转体或垂直于某轴的截面的面积为已知的情形
2） 柱面坐标下
3）球面坐标系下
三、三重积分的对称性
1） 对称性 若 关于xoy(z=0)平面对称，而 是 中对应于
的部分，则
关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果.
2） 轮换对称性
若 为： ，（或
则
四、重积分的应用**
1 曲面的面积 ，S=
2 质量 （其中 为密度函数，下同）
3 重心 ， ，
4 转动惯量
5 引力：空间立体 对位于点 处的单位质点引力
， ，
其中
五、典型题型与例题
例1 化 为三次积分，其 中W为 及 所围成的闭区域
解：
例2 计算 , 其中W为平面曲线
绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。
[解]
例3* 计算 , 其中W是由圆柱面 ,旋转抛物面 所围成的区域。
[解]
例4 计算
[解]
例5 计算 ，其中W 是由 和 所围空间闭区域。
解：
例6* 设密度为1的立体 由不等式 表示，试求 绕直线x=y=z的转动惯量.
[分析] 点 到直线 的距离为
[解] 质点m对直线L的转动惯量为 ，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方
所求转动惯量为
=
=
=
例7* 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求
[解] =
第二部分 曲线、曲面积分及场论初步
一、 考试内容与要求
(一) 两类曲线积分
1 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即
2) 可加性
2对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 2)
可加性
注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。
3 两类曲线积分之间的联系
(1)
是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。
(2)与（1）类似：
(二) 两类曲面积分
1
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)（07考）
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与曲面 的侧面选择无关，即
，其中－ 为曲面
的另一侧
2)可加性 ,
其中
2对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即
2) 可加性
， 其中
3 两类曲面积分之间的联系
=
其中 为曲面 在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
(三) 场论初步
1 方向导数
设三元函数
在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为 ，则
2 梯度(gradu)
设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad
注：沿梯度方向的方向导数为
3 散度(div )
设 , 则 div
4 旋度(rot )
设 , 则
rot
5 流量**
设有向量场 ，F沿定向曲面S的流通量为
= .
二、 重要公式与结论
1 格林公式
设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则
其中L是D的边界曲线且取正向。
注： P,Q及其一阶偏导数要求连续，
‚
L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。
2 高斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，
则
其中 是闭域W的边界曲面的外侧。
注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续，
‚
应取外侧。
3 斯托克斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面
所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面 的边界曲线，则
=
其中曲线L的方向与曲面 所取侧的法线方向满足右手法则。
4 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则
1)
2)
3) L为D中任一简单分段光滑封闭曲线Û
4) 存在函数u(x,y)，(x,y)ÎD, 使du(x,y)=Pdx+Qdy,
此时
，它与路径无关Û
5） 是全微分方程，此时期通解为 。
三、 典型题型与例题
重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！
题型1
对弧长的曲线积分的计算方法
方法： , (注：a<b), 则
特别有 ‚
ƒ
注：第一类曲线积分具有对称性：
1） 设L关于x=0对称，则
L1是L的右半部分
2） 设L关于y=0对称，则
L1是L的上半部分
3） 轮换对称性：若x与y互换，L不变，则
