2.4.1 原码除法运算原理
两个原码表示的数相除时,商的符号由两数的符号按位相加求得,商的数值部分由两数的数值
部分相除求得。
设有n位定点小数(定点整数也同样适用)：
被除数ｘ,其原码为 [ｘ]原＝ｘf .ｘn－1…ｘ1ｘ0
除数ｙ,其原码为 [ｙ]原＝ｙf .ｙn－1…ｙ1ｙ0
则有商q＝ｘ/ｙ,其原码为
[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘ
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n－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)
商的符号运算qf＝ｘf⊕ｙf与原码乘法一样,用模2求和得到。商的数值部分的运算,实质上
是两个正数求商的运算。根据我们所熟知的十进制除法运算方法,很容易得到二进制数的除法运
算方法,所不同的只是在二进制中,商的每一位不是“1”就是“0”,其运算法则更简单一些。
下面仅讨论数值部分的运算。设被除数ｘ＝0.1001,除数ｙ＝0.1011,模仿十进制除法运算,
以手算方法求ｘ÷ｙ的过程如下:
0.1 1 0 1 商q
0.1 0 1 10.1 0 0 1 0 ｘ(r0) 被除数小于除数，商0
－0.0 1 0 1 1 2－1ｙ 除数右移1位,减除数，商1
0.0 0 1 1 1 0 r1 得余数r1
－0.0 0 1 0 1 1 2－2ｙ 除数右移1位,减除数，商1
0.0 0 0 0 1 1 0 r2 得余数r2
－0.0 0 0 1 0 1 1 2－3ｙ 除数右移1位,不减除数，商0
0.0 0 0 0 1 1 0 0 r3 得余数r3
－0.0 0 0 0 1 0 1 1 2－4ｙ 除数右移1位,减除数，商1
－0.0 0 0 0 0 0 0 1 r4 得余数r4
得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101,余数为r＝0.00000001。
上面的笔算过程可叙述如下：
1. 判断ｘ是否小于ｙ？现在ｘ<ｙ,故商的整数位商“0”,ｘ的低位补0,得余数r0。
2. 比较r0和2－1ｙ,因r0>2－1ｙ,表示够减,小数点后第一位商“1”,作r0－2－1ｙ,得余数r1。
3. 比较r1和2－2ｙ,因r1>2－2ｙ,表示够减,小数点后第二位商“1”,作r1－2－2ｙ,得余数r2。
4. 比较r2和2－3ｙ,因r2<2－3ｙ,不够减,小数点后第三位商“0”,不作减法,得余数r3(＝r2)。
5. 比较r3和2－4ｙ,因r3>2－4ｙ,表示够减,小数点后第四2位商“1”,作r3－2－4ｙ,得余数r4,共
求四位商,至此除法完毕。
在计算机中,小数点是固定的,不能简单地采用手算的办法。为便于机器操作,使“除数右
移”和“右移上商”的操作统一起来。
事实上,机器的运算过程和人毕竟不同,人会心算,一看就知道够不够减。但机器却不会心算,
必须先作减法,若余数为正,才知道够减；若余数为负,才知道不够减。不够减时必须恢复原来的
余数,以便再继续往下运算。这种方法称为恢复余数法。要恢复原来的余数,只要当前的余数加
上除数即可。但由于要恢复余数,使除法进行过程的步数不固定,因此控制比较复杂。实际中常用
不恢复余数法,又称加减交替法。其特点是运算过程中如出现不够减,则不必恢复余数,根据余数
符号,可以继续往下运算,因此步数固定,控制简单。
早期计算机中,为了简化结构,硬件除法器的设计采用串行的1位除法方案。即多次执行
“减法—移位”操作来实现,并使用计数器来控制移位次数。由于串行除法器速度太慢,目前已被
淘汰。
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