寻找尾数与周期问题的规律
2008-10-31 16:00阅读：
在计算过程中，我们经常会遇到一些尾数、周期问题，看了这些问题，你的第一感觉是不是很烦
？甚至搁了一边不想去做。
其实尾数、周期问题并不像我们想象的那么讨人厌，只要你仔细分析就会从题中找出许多解题规律，掌握了这些规律你就可以简化运算过程，提高运算的速度和正确率了。
怎么样？心动了吧，我们一起学习这些知识吧！
尾数问题
例1：n＝2×2×2×…×2（2005个2相乘），所得积的末尾数字是几？
分析：n是2005个2的连乘积，可以记为n＝2（2005次）。首先观察若干个2（从2的较低次幂入手）连乘积的末尾数字的变化规律，从而发现每4个2连乘为一循环，循环的顺序是2、4、8、6，其周期为4。
解：因为2005÷4＝501……1，余数是1，即余下1个2。所以2005个2连乘，积的末位数字是2。
方法点睛：以2的连乘个数为被除数，用积的数字变化周期数为除数，用除得的余数推断出积的个位数。
例2：12＋22＋32＋42＋…＋992＋1002的个位数字是多少？（新加坡小学数学奥林匹克竞赛）
分析：把尾数相同的放在一组。每10个数一组，求出10个尾数的和。12＋112＋212＋312＋…＋912尾数的和为2×10＝20，和的尾数为0。同理，22
＋122＋222＋…＋922的和的尾数也是0……
解：原式中有100个加数，以尾数相同的10个加数为一组，共有10组。每组和的个位数字都是0，所以这100个加数和的个位数仍为0。
方法点睛：观察数列后，利用交换律把尾数相同的交换到一起，再利用结合律，把每10个尾数相同的结合成一组。逐组计算和的尾数，最后再计算总和的尾数。
分析：观察这个式子可知，每个加数的尾数都是2，再看每个加数尾数前的数字，是1、2、3、4……99、100，这说明一共有100个数相加。
解：因为一共有100个尾数是2 的数字相加，2×100＝200，所以这100个加数和的个位数字是0。
方法点睛：加法算式中，所有个位数字和的尾数就是该式和的尾数。
例3：2004（2001）×2009（2001）积的末位数字是几？
分析：2004的连乘积的末位数字以4，6循环出现，周期为2；2009的连乘积的末位数字以9，1循环出现，周期也是2。
解：2001÷2＝1000……1。
2004（2001）的个位数字即为2004（1）的个位数字4。
2009（2001）的个位数字即为2009（1）的个位数字9。
4×9＝36，所以积的末位数字是6。
方法点睛：观察循环周期的变化，找出周期规律计算。
例4：2002（2007次）＋2003（2007次）＋2007（2007次）＋2008（2007次）和的个位数字是几？
分析：先分别求出2002（2007次），2003（2007次），2007（2007次），2008（2007次）的个位数字，再求它们和个位数字。
解：因为分别观察2002，2003，2007，2008较低次幂的末尾数字的变化规律，发现每4个为一循环。所以2007÷4＝501……3，即2007＝501×4＋3，则：
2002（2007次）的个位数字即为2002（3次）的个位数字8；
2003（2007次）的个位数字即为2003（3次）的个位数字7；
2007（2007次）的个位数字即为2007（3次）的个位数字3；
2008（2007次）的个位数字即为2008（3次）的个位数字2。
所以2002（2007次）＋2003（2007次）＋2007（2007次）＋2008（2007次）和的个位数字是8＋7＋3＋2＝20的个位数字。因此，所求的答案是0。
方法点睛：2的连乘积的个位数字以2，4，8，6循环出现，周期为4；3的连乘积的个位数字以3，9，7，1循环出现，周期为4；7的连乘积的个位数字以7，9，3，1循环出现，周期为4；8的连乘积的个位数字以8，4，2，6循环出现，周期为4。
例5：算式(19941994＋19951995＋19961996)×19971997×19981998的个位数是多少(注19941994是1994个1994相乘)？
分析：按照4、6循环1994÷2＝997……0，则19941994的个位数是6；5n(n＞1的整数)的个位数是5，则19951995的个位数是5；6n的个位是6，则19961996的个位是6；按照7、9、3、1循环，1997÷4＝499……1，则19971997的个位数是7；按照8、4、2、6循环，1998÷4＝499……2，则19981998的个位数是4。
解： (6＋5＋6)×7×4＝476，所以原式的个位数为6。
方法点睛：一个整数的n次方的尾数等于它尾数n次方的尾数；整数积的尾数等于整数尾数之积的尾数；和的尾数等于尾数之和的尾数。
周期问题
例1：数列1，1，2，3，5，8，13…从第三个数起，每个数是前两个数的和。问这个数列中第1995个数除以8所得的余数是多少？（新加坡小学数学奥林匹克竞赛）
分析：按照“从第三个数起，每个数是前两个数的和”。把数列中数的个数向后扩展若干项，变为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377……用这列数分别除以8，余数分别为：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1……当余数写到第13个和第14个时，发现它们分别与第1个和第2个余数相同。可见余数是按每12个为一个变化周期。
解：1995÷12＝166……3，说明余数的变化是循环了166个周期后到达了第3号位置，它与从1开始的位置上的数2除以8的余数相同，都是2。所以，这个数列中第1995个数，除以8的余数是2。
方法点睛：观察数列，把数列中数的个数向后扩展若干项，找出其中的规律。
例2：一列数，前3个数是1、9、9，以后每个数都是它前面相邻3数之和除以3所得的余数。问这列数中第1999个数是几？（第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛）
分析：题目只给数列的前3个数，无法发现它的规律，所以我们按题目给定的办法继续写下去，发现它的变化周期是12。
解：先把这列数按给定的规律写下去为：1，9，9，1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0；1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0……可以看出，除了前3项，这个数列每13项循环一次，即(1999－3)÷13＝153……7，7＋3＝10，所以这个数列中的第1999个数与数列中的第10个数相同是0。
方法点睛：观察数列，把数列中数的个数向后扩展若干项，找出其中的规律。
例3：1998个小朋友围成一圈。从某人开始逆时针方向报数，从1报到64；再从1依次报到64。一直报下去，直到每人报10次为止。问：
（1）有没有报过5又报过10的人？有多少？说明理由；
（2）有没有报过5又报过11的人？有多少？说明理由。（第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）
分析：1998与64都是偶数，自然数列是奇、偶相间，两者的奇偶性在报数时奇数对应奇数，偶数对应偶数，故不会有报奇数的人又报偶数。
解：（1）没有。因为1998与64都是偶数，所以报偶数的人总是报偶数，报奇数的人总是报奇数。没有既报奇数又报偶数的人。而5是奇数，10是偶数，故没有既报5又报10的人；
（2）有，有157人。1998÷64＝31……14，即1998＝64×31＋14。如果某人在第n圈时报5。那么在第(n＋1)，(n＋2)，(n＋3)，(n＋4)，(n＋5)圈时将依次报5＋14＝19,19＋14＝33，33＋14＝47，47＋14＝61，61＋14－64＝11。这就是说在前5圈报过5的人，再加5圈，在10圈内必然能报11。由1998×5÷64＝156……6，知前5圈中有157人报过5，所以报过11的人有157人。
所以没有报过5又报10的人。有157人既报过5又报过11。
方法点睛：奇偶性在报数时奇数对应奇数，偶数对应偶数，不会有报奇数的人又报偶数。
例4：1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的是一位数，那么后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和。现在让第一名同学报1，那么最后一名同学报的数是多少？
（1999·全国小学数学奥林匹克竞赛决赛）
分析：按照给出的规则得数列：1，10，6，15，11，7，16，12，8，17，13，9，18，14，10，6由第2名同学与第15名同学报的数都是10，推知从第二名同学开始，每13名同学报的数重复一次。
解： (1999－1)÷13＝153……9，所以，第1999名同学报的数与第9＋1＝10(名)同学报的数都是17。
方法点睛：先求数列，再寻周期，最后求编号为1999的位置上的数。
例5：某年2月份有5个星期日，这年6月1日是星期几？
分析：先确定这一年的2月份有多少天，再算到6月1日共经过的天数，最后确定6月1日是星期几？
解：因为7×4＝28，从这年2月份有5个星期日可知这年2月份有29天，且2月1日与2月29日均是星期日，所以3月1日是星期一，从这年3月1日到6月1日经过的天数是：31＋30＋31＝92（天）。所以93÷7＝13（周）……2（天），即这年6月1日是星期二。
方法点睛：计算星期几的问题应注意：
1．公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，2月是29天，全年有366天。
2．公历年份为整百数时，必须是400的倍数才是闰年。
3．计算经过的天数，用截至日期数减去起始日期数后，必须加上1。
不知以上例题你掌握得怎么样？
其实好多问题并没有复杂和简单这一说,只有思考过的问题和没有思考过的问题。如果你认真思考过了，也许好多问题就被你轻而易举地解决了，所以我们以后遇到难解的或第一眼看上去很复杂的问题时，我们一定要记得去分析、去思考，或者再去与别人交流，做完这些工作，相信你就会总结出一些题目的分析方法的。
学习完，下面我们一起来做练习吧！
一、填空
1．自然数3×3×3×…×3（有68个3连乘）的个位数字是（
）。
2．自然数8×8×8×……×8＝8（2004次）的个位数字是（
）。
3．1992个13相乘的积，个位数字是（
）。
4．1×2×3×4×…×1993×1994的末位数字是（
）。
5．1×3×5×7×9×11×…×97×99的值的个位数是（
）。
6．1×1＋2×2＋3×3＋4×4+…1991×1991的末位数字是（
）。
7．1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5×6×7×8×9的值的个位数是（
）。
8．观察1×2×3×4×5＝120，积的尾部都有一个零，1×2×3×4×5×…×50的积的尾部有（
）个连续的零。
二、解答
1．1991个1991相乘所得的积，末两位数字是多少？
2．求19个12相乘的积与11个8相乘的积的差的末尾数字是多少？
3．2004个23的积乘1942个18的积乘1049个27的积的末尾数字是几？
4．1993个0.7的积与1994个0.8的积相乘末位数字是多少？
5．求1050个2相乘的积与2105个4相乘的积的和再加上1997个8相乘的积的尾数是几？
6．有一串数，5，55，555，5555，…，555…55（15个5）这一串数的和的末三位数是多少？
7．
3×13×23×33×43×53×63×73×83×93×103×113×123×…×19903的积的个位数字是多少？
8．算式1993×1995×1997×1999─1992×1994×1996×1998的结果的末位数是多少？
9．求1995个2的积乘1994个3的积乘1993个4的积乘1992个5的积乘1991个6的积
加上1990个7的和的个位数是几？
