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用Excel表达贫富不均——洛仑兹曲线的绘制及基尼系数的定积分计算

2012-01-16 11:53阅读：

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用Excel表达贫富不均——洛仑兹曲线的绘制及基尼系数的定积分计算

在反贫困工作中有两项重要的统计工具：洛仑兹曲线和基尼系数，它们使用、整理大量调查数据所绘制的图形、曲线及计算结果，可以用来说明社会收入差距大小，贫富两极分化程度。这些工作可以使用Excel来处理。根据本人近年实践，总结介绍如下。
1.洛仑兹曲线
洛仑兹曲线研究的是国民收入在国民之间的分配问题，这是美国统计学家洛仑兹提出来的。它先将一国或一地区人口按收入由低到高排队，然后考虑收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。例如最低的10%、20%、30%的人口等等所得到的收入比例分别为1.09%、4.16%、9.21%等等，如表1所示，最后将这样得到的人口累
计百分比和收入累计百分比的对应关系制成图表，即得到洛仑兹曲线，如图0所示。
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表1
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图0
上图即为洛伦兹曲线，其横坐标是相对人口累计百分比，纵坐标是收入累计百分比。
如果收入是绝对均等的（当然这只是一种理想化的状态）， 每1%的人口都得到1%的收入，累计99%的人口就得到累计99%的收入，则收入分配是完全平等的，累计收入曲线就是上图中的对角线OL，图中标明是“绝对均等线”。
假如收入分配绝对不均等（当然这也是一种设想的状态），几乎所有的人口均一无所有，即99%的人完全没有收入，而所有的收入都在1% 的人手中，即1%的人拥有100%的收入，累计分配曲线是由横轴和右边垂线组成的折线OAL。图中标明是“绝对不均等线”
一般来说，一个国家、一个地区的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于两者之间，那么相应的洛仑兹曲线既不是折线OAL，也不是对角线OL，而是介于两者之间的就是中间那条向横轴突出的OCL曲线。洛仑兹曲线的弯曲程度具有重要意义。一般来说它的弯曲程度反映了收入的不平等程度，弯曲程度越大，收入分配程度越不公平。
洛伦兹曲线和对角线之间的那块月牙形区域（图中斜线区域）可以看成是贫富之间的那条沟坎。这块月牙形区域面积S大小，可以用来表征实际收入分配与理想境界的差距：这块月牙形区域面积S越大，洛伦兹曲线弯曲度越大，月牙弯得越大，它和对角线离开得越远，说明收入差距越大，贫富两极分化越严重。反之，这块月牙形区域面积S越小，洛伦兹曲线越平缓，月牙弯得越小，它和对角线靠得越近，说明社会收入差距越小，贫富两极分化越不明显。
用Excel绘制洛仑兹曲线,主要使用面积图，先绘制绝对平均区域的对角线三角形面积图，并以某显著颜色图案着色。再绘制洛仑兹曲线，选择一个前景色着色，掩盖前者的一部分以后，就可见到月牙形的曲边形，从而为基尼系数的计算做了准备。绘制洛仑兹曲线的步骤如下：
【步骤01】：选择单元格C2:C12作图表，进入【图表向导-4 步骤之 1-图表类型】，子图表类型选择“面积图”第一行第一个“面积图。显示各种树脂随时间或类别而变化的趋势线”，如图1：
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图1
【步骤2】：进入“下一步”，添加标题“洛仑兹曲线”，取消图例，完成后对系列、坐标轴数据格式等格式调整后所得图形如图2：
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图2
【步骤03】：取消网格线，将系列内部颜色调整为黑色斜线条，如图3：
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图3
【步骤04】：选择图表，右键选“源数据”，添加系列2，其值通过右端小按钮选取输入为“=Sheet2!$B$2:$B$12”，如图4：
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图4
【步骤05】：确定后，加上X轴、Y轴标题，取消X轴数据标志，调整系列2内部颜色，手工使用文本框写入O、A、L、B、C和汉字，插入箭头，并长按Ctrl键，将这些加入内容和原图标都选中叠加，右键选“组合”-“组合”，从而完成洛仑兹曲线图的绘制，如图5所示。
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图5

2.基尼系数
洛伦兹曲线常用来形象化地说明问题，它不可能用一个确切的数字来表示收入差异的总体水平，国际通用的衡量这种水平的最常用的是基尼系数。基尼系数是从洛伦兹曲线推导出来的，用以测定洛伦兹曲线背离完全均等状况的程度。基尼系数的计算是这样的：
设：洛伦兹曲线和对角线之间的那块区域（图中斜线区域）面积为S，
绝对不均等折线和绝对均等对角线围成的三角形OAL区域的面积为P
基尼系数G ＝ S ／ P 。
关于基尼系数的解读，应该注意以下几点：
①当收入分配完全均等时，S ＝ 0，于是，G ＝ 0；
②当收入分配完全不均等时，S ＝ P ，G ＝ 1；
③现实生活中，基尼系数总是介于0和1之间，即0 ＜G ＜ 1；基尼系数越大说明收入分配越不平等，基尼系数越小，表明收入分配越趋于均等。
④联合国有关组织规定：若
收入的基尼系数 ＜ 0.2 表示收入分配绝对平均；
收入的基尼系数介于 0.2 ～ 0.3 表示比较平均；
收入的基尼系数介于 0.3 ～ 0.4 表示相对合理；
收入的基尼系数介于 0.4 ～ 0.5 表示收入差距较大；
收入的基尼系数 ＞ 0.6以上表示收入分配差距悬殊。
对于基尼系数的具体计算，关键在于几个图形的面积计算。其中：
△OAL的面积为 0.5 (OL是边长为1的正方形的对角线)
曲边形OALC的面积则不能用初等数学的方式求得，可用定积分求曲线OCL下面积。为此，先要确定曲线OCL方程。由于统计数据不是连续曲线，事先也无确定方程，这些数据都是一些离散的点，因此，我们利用Excel作出它们的散点图（而不是前面的面积图），再使用添加趋势线的方式，求得这条拟合趋势线的方程，再利用定积分求得该曲线下面积。下面，以上面例子的数据说明求解过程。
【求基尼系数 步骤 01】：选择单元格C2:C13, 进入【图表向导-4 步骤之 1-图表类型】对话框,选择“X Y散点图”,在“下一步”取消图例，完成后得到图6 所示XY散点图。选择散点图中数据点，右键选择“添加趋势线”，见图6：
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图6
【求基尼系数 步骤 02】：在【添加趋势线】对话框中，切换到“类型”选项卡，在“趋势预测/回归分析类型”中，可以根据题意及定积分计算方便，选择“多项式”，“阶数”可调节为2（视曲线与点拟合程度调节），如图7：
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图7
【求基尼系数 步骤 03】：切换到“选项”选项卡，选中“显示公式”复选框，“设置截距=0”视情况也可选中，如图8，确定后，如图9，其中的公式，就是通过回归求得的拟合曲线的方程。
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图8
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图9
【求基尼系数 步骤 04】：为求曲边形OALC的面积，可用定积分求曲线OCL下面积，先用不定积分求其原函数：
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再求其定积分：
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＝F(1)-F(0)
＝0.335
(此题计算比较简单，只需口算即可得到解答。如实际计算比较复杂,可再次利用Excel输入公式计算,此处不再赘述。)
即 曲边形OALC的面积=0.335
S(月牙形面积)＝ △OAL的面积-曲边形OALC的面积
＝ 0.5-0.335
＝ 0.165
【求基尼系数 步骤 05】：
基尼系数G ＝S(月牙形面积) ／△OAL的面积
＝ 0.165 / 0.5
＝ 0.33
该基尼系数介于 0.3 ～ 0.4 表示收入分配相对合理。
求基尼系数的关键是：
其一：使用离散的统计数据作出XY散点图，并用“添加趋势线”的方式，求出拟合曲线的方程，方程的类型和次数可视拟合程度调整，不过选择多项式的话，在之后的使用积分求原函数的公式比较方便；
其二：在拟合曲线的方程确定后，使用定积分计算曲线下面积，计算月牙形面积，最后即可求得基尼系数。
【习题； 利用某市2005年统计年鉴提供数据，绘制当年该市洛仑兹曲线图，并求基尼系数】
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表2
作出辅助图标后，所作洛仑兹曲线如图10：
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图10
做散点图，添加趋势线，拟合方程选多项式，次数分别选择二次（图11）、三次(图12)和四次(图13)，显然对于二次曲线，线外数据点较多，三次曲线还有个别数据点散落在线外，只有四次曲线拟合较好。 用Excel表达贫富不均——洛仑兹曲线的绘制及基尼系数的定积分计算 - OldShu - OldShu的博客
图11 数据点落在曲线外较多
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图12 仍有部分数据点落在曲线外
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图13 数据点和曲线拟合较好
即采用四次曲线:
Y= 1.9953X4 - 2.6705X3 + 1.4836X2 + 0.1918X
最后计算：
曲边形OALC的面积=0.321869
S(月牙形面积)＝ △OAL的面积-曲边形OALC的面积
＝ 0.5-0.321869
＝ 0.178135
【求基尼系数 步骤 05】：
基尼系数G ＝S(月牙形面积) ／△OAL的面积
＝ 0.178135 / 0.5
＝ 0.35627
≈ 0.36
该基尼系数介于 0.3 ～ 0.4 表示该市2005年居民收入分配相对合理。
特别要指出的是：虽然对于基尼系数在我国研究中的适用性还存在一定的争议，但作为国际通用的常用指标之一，仍然可以用来衡量社会不平等程度的重要指标，能够在一定程度上反映社会收入分配中存在的问题。
联合国开发计划署（UNDP）委托中国发展研究基金会组织撰写的《中国人类发展报告 2005》显示，目前中国的基尼系数已超过0.4，甚至可能达到0.45 。2006年6月14日，国家统计局有关负责人表示，目前我国的基尼系数超过0.4的国际警戒线，但我国不能照搬国际统计口径，因为我国城乡差距和东西部差距较大是造成基尼系数较大的原因。分别来看，城市居民和农村居民的基尼系数统计都低于0.4，这就是为什么我国基尼系数到了0.45也没有引起社会动荡的原因。

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