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阿基米德的數學成就和研究方法（一）

2009-05-16 19:55阅读：

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阿基米德的數學成就和研究方法（一）
圓柱體積 = 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ´ 球體體積
圓柱面積（包括底面）= 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ´ 球體面積
摘要
阿基米德（Archimedes）是古希臘三大數學家和歷代三大數學家之一，畢生對數學貢獻無數，在二千年前已著手研究曲線的周長、面積和體積問題，其獨特的思考方法開創了許多個數學概念的先河，包括積分、三次方程解和結合力學到數學研究方法上。
今次有幸選擇介紹阿基米德作為功課題目，在參考多本權威史記後，筆者以探討阿基米德的數學成就和研究方法兩部分來寫成本文，而且列出部分命題的證明，希望讀者除了認識這位傳奇人物的偉大之處，亦可嘗試在他的思想世界內穿梭。
他的著作繁多，每本也針對一些數學問題而寫成，在討論那些問題時，往往引伸其
他有趣的數學問題，促成他在多個數學分支的成就。因此，在數學成就的部分，本文將對各著作和各成就作詳細敘述。
研究方法的部分是本文的精粹，那裡把數學成就的各章融為一體，析述阿基米德在研究背後的數學哲學，包括利用非邏輯方法探索數學問題。
作為介紹數學歷史的文章，無可避免談及一些數學名詞和概念，有時更可能魯莽地說得含混不清，筆者已盡有限的能力，把不容易明白的地方（縱然可能存在無限個）闡述清楚，務求無論是擅長與不擅長、喜歡與不喜歡數學的人也看得懂這篇文章。
目錄
  1. 阿基米德生平
  2. 數學成就
    2.1 球和圓柱
    2.2 圓的度量
    2.3 拋物線弓形面積、劈錐曲面體與旋轉橢圓體
    2.4 螺線
    2.5 記數系統
    2.6 平方根的近似值
    2.7 三次方程
    2.8 其他數學成就
  3. 研究方法
    3.1 比例的使用
    3.2 窮竭法和歸謬法
    3.3 力學方法
  4. 總結
  5. 參考文獻

I. 阿基米德生平
阿基米德（Archimedes）生於西元前 287 - 212 年，出身於西西里島（Sicily）的敘拉古（Syracuse），是天文學家費狄（Pheidias）的兒子，據說與敘拉古的國王希倫二世（Hieron）有親戚關係。
處身古希臘文化最鼎盛的時代──亞歷山大時代，年輕時的阿基米德曾到亞歷山大，跟隨歐幾里德的門徒學習，結交了科農（Conon）、厄拉多塞（Eratosthenes）等好友，回到敘拉古後仍跟阿歷山大的學者保持聯絡。
阿基米德最為人所熟悉的是在力學的貢獻，這可能與他的傳奇事蹟有關 [3]。他曾說過，只要給他一個點，便能舉起地球，說的正是槓杆原理，然而他的確曾利用槓杆原理，憑個人之力移走笨重的大船。又有一次，他在浸浴時發現了物件在液體浮動的原理，高興得裸著身體走到街上，大喊「Eureka！」，即是「想出來了！」的意思。
最受人欽佩的是，他在國家的危難之秋，放棄本來的研究工作，利用力學製成許多威力強大的武器，力抗羅馬人入侵，歷史上記載了敵軍一句說話：「他（阿基米德）從容地坐在海邊，把我們的船像擲錢遊戲似的拋來拋去......還射出那麼多發彈，比神話裡的百手妖怪還厲害。」（[6]，頁 68）後來羅馬軍偷偷潛入軍營殺死阿德米德，一代宗師就此為國捐軀。
事實上，阿基米德在數學上的成就不下於力學方面。他既富創意又能兼顧嚴謹性，對於許多具有相當難度的核心問題，毫不畏懼地提出新穎的觀點，而且利用精密的邏輯演譯，把它們具體地呈現於人前，這些都是受後世推崇備至，與歐幾里德和阿波羅尼（Apollonius of Perga）被譽為古希臘三大數學家、與牛頓和高斯合稱史上三大數學家的原因。
II. 數學成就
阿基米德撰寫過多部著作，根據《阿基米德全集 [6] 所收錄，這包括《論球和圓柱》、《圓的度量》、《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》、《論螺線》、《論平面圖形的平衡》、《沙粒的計算》、《拋物線求積法》、《論浮體》、《引理集》和《方法》，每本都針對某種數學或物理問題而寫成，而且在研究過程中往往引伸其他有趣的數學問題，因此他的成就遠超這些書名指明的範圍。以下只討論他在數學的成就，而且為了突顯在各數學分支的貢獻，成就的分類不一定以著作為單位。
2.1 球和圓柱
對球體和圓柱的研究是阿基米德最傑出的數學成就之一，雖然對圓周率所知不多，而且礙於數字觀念還未完整，不能在計算比例時使用無理數，他仍然指出許多體積之間和面積之間的比例關係，令球體體積和球體表面面積公式呼之欲出。有關的資料主要記載在《論球和圓柱》第 I 和第 II 卷中。
2.1.1 《論球和圓柱》
他以六個定義和五個假設開始寫作，其中第五個假設後來成為著名的阿基米德公設（Axiom of Archimedes）：「任何兩線段 a 和 b ，如果 a < b ，則必存在正整數 n，使得 na > b 成立。」全卷共有 44 個命題，如他給多西修斯（Dositheus）的信上所說，主要結果有以下三個。
2.1.1a 命題 33：「球面積等於最大圓面積的 4 倍。」
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
命題 34 說明球體體積的情況：「球體積是以它的大圓為底、半徑為高的圓錐體的 4 倍。」這看來是命題33在體積方面的推廣，但根據他的另一著作《方法》（[4]，頁 339 - 340），命題 33 是由命題 34 聯想出來的，顯示書中命題的次序不代表它們被發現的先後。
2.1.1b 命題 42 和 43：「球缺的曲面面積等於一個圓的面積，該圓的半徑等由球缺曲面的頂點到達球缺底部圓周的長度。」
阿基米德的數學成就和研究方法（一）陰影代表的曲面面積 = 半徑為 r 的圓的面積
命題 42 和 43，分別討論球缺小於和大於半圓的情況。
2.1.1c 命題 34 的推論：「以球的大圓為底、球的直徑為高的圓柱體，體積是該球體的 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 。」
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
圓柱體積 = 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ´ 球體體積
圓柱面積（包括底面）= 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ´ 球體面積
這可能是阿基米德最感到自豪的發現，他在生時已指定把這個定理刻在墓碑上，後來雖然被外族羅馬人入侵國家時殺掉，但羅馬人仍依照這個意願把他埋葬。
2.1.1d 命題的演譯
正如以上所說，卷Ｉ的命題都是由五個假設出發，承先啟後地逐一導引。使用第二假設，即「同一平面上，任何兩條有公共端點的線（曲線或折線）中，如果不相等和凹向同一方向，並且其中一條是要麼整個包含在另一條內，要麼一部分包含於其中，一部分重合，那麼被包含的線便是兩線中較短的。」，馬上得到命題1：「外切於圓的多邊形的周長大於圓的周長。」即 PA + AQ 長於弧 PQ。
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
命題 2 是「給定兩個不等的量，則可求得兩不等的線段，使得大、小兩線段之比小於大、小兩量之比。」篇幅所限，命題 2 的證明恕未能提供，但最重要的是，結合命題 1，很容易便得到命題 3：「給定兩不等量和一圓，則可作出圓的外切和內接多邊形，使得外切多邊形的邊長與內接多邊形邊長之比小於大、小兩量之比。」由於兩個不等量是任意的，所以亦可任意逼近圓的邊長，從而證明有關圓面積的定理。這種方法叫「窮竭法」，我們將在介紹阿基米德的研究方法時詳加解釋。
其他的命題也是循著差不多的方向，有的是以描述球體體積的版本出現，證明有關球體的定理。後來加入討論扇形和球缺。
2.1.2 《論球和圓柱》II
共九個命題，其中有六個是問題，以第一章為依據而給出，主要的研究對象是球缺和作圖的方法。以下列出那六個問題：
  1. 命題 1：「給定一個圓錐或圓柱，求一球等於該圓錐或該圓柱。」
  2. 命題 3：「用一平面截給定的球，使得兩球缺面之比為已知比。」
  3. 命題 4：「用一平面截給定的球，使得兩球冠體積之比為已知比。」
  4. 命題 5：「作一球冠與一個球冠相似，而與另一個球冠體積相等。」
  5. 命題 6：「已知兩個球冠，求第三個球冠，使其與一個球冠相似，而與另一個球冠有相等的面。」
  6. 命題 7：「用一平面從已知球截出一個球冠，使得該球冠與一圓錐有已知比，此圓錐與球冠同底等高。」
其中命題 4 具有相當的歷史價值，因為它首次引起人類對三次方程的關注，我們將留待在三次方程的部分深入探討。
2.2 圓的度量
幾乎任何的數學文明也離不開對圓的研究，阿基米德不遑多讓，而且跟以上一章的討論一樣，再次向神秘的圓面積和圓周率挑戰。關於圓的度量，他寫了一本名為《圓的度量》的著作，但不少地方已經失傳（[2]，頁 50），現只遺下 3 個命題，但已經顯出了這位數學大師的非凡功架。
2.2a 圓面積計算
命題 1 開宗明義說明「圓的面積等於一個以其周界及半徑作兩個直角邊的直角三角形的面積」。《九章算述》曾說過：「半周半徑相乘得積步」（[6]，頁 80）。兩者也指出圓面積的計算方法，但阿基米德的發現可能比較中國方面早。
阿基米德的證明如下。設 A 為圓面積、C 為圓周、T 為命題所述的三角形的面積，假若 A > T，我們可作邊數足夠多的內接正多邊形 P 使
A - P < A - T，
而得出 P > T。
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
但這是不可能的，因為把多邊形分割成大小一樣的三角形，h 比半徑 r 短，而 P 的周界亦比 C 短，所按照計算面積的方法，P < T，與以上所說矛盾。同理，我們知道 A < T 也不成立，所以 A = T。這種證明方法在今天也十分常見，叫做「歸謬法」，我們將在研究方法的部分繼續討論。
2.2b 圓周率
歐幾里德在《幾何原本》討論了許多圓的等性，但沒有提到圓周率的值和圓面積、圓周的計算方法（[6]，頁 81）。阿基米德卻在科學史上，首創使用上下界來解定一定量的近似值，而且提供了誤差的計算（[6]，頁 81）。這些都記錄在命題 3 ──「任何一個圓周與它的直徑的比小於 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 而大於 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 」。
命題3的證明概述如下（[6]，頁 82），當中他出人意表地寫出 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 的近似值。
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
如圖，
阿基米德的數學成就和研究方法（一）（ 阿基米德的數學成就和研究方法（一）），
阿基米德的數學成就和研究方法（一）。
（沒有人知道他何以寫出 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 的近似值，我們將在討論算成就時詳加分析）
兩式相加，得
阿基米德的數學成就和研究方法（一）。
我們可容易地證明 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ，因而 DOBC 的面積可分別等於 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 和 阿基米德的數學成就和研究方法（一） ，於是有
阿基米德的數學成就和研究方法（一）。
左右同時加 1，
阿基米德的數學成就和研究方法（一）。
左端分母與右端分子交換，再由前面的不等式，有
阿基米德的數學成就和研究方法（一） 或 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 。
於是我們證明了正六邊形與直徑比例的上界，以相同方法，阿基米德計算正十二邊形至正九十六形的比例，亦以差不多的方法計算應對的下界，最後得出命題中的上下界。
2.3 拋物線求積法、劈錐曲面體與旋轉橢圓體
阿波羅尼（Apollonius of Perga）是與阿基米德同期的數學家，他以研究圓錐曲線名垂千古，研究時所用的座標方法，更令後世的費馬（Fermat）得到啟發而創立解析幾何（[8]）。相比之下，阿基米德對拋物線、拋物線體、雙曲線體和橢圓球體的研究不如前者聞名，但阿基米德運用力學和比例來探討問題的獨特風格（[4]，頁27 - 34、332 - 338），仍贏得後世不少注視。這裡他大量採用了窮竭法來證明命題，但我們將在稍後才討論研究方法，這裡只略述他的研究成果。
他寫過一本名為《拋物線求積法》的著作，有 24 個命題，最重要的是命題 24──「由任一拋物線弓形的面積是同底等高的三角形面積的 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 。」
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
他又寫過另一本著作名為《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》，共有命題 32 個。劈錐曲面體即是由拋物線或雙曲線兩種圓錐曲線，迴轉所形成的立體。旋轉橢圓體也是一樣，只是圓錐曲線是橢圓形。阿基米德的研究集中在體積問題。以下是較重要的兩個命題：
  1. 命題 21 和 22：「旋轉拋物面任一截段的體積是與其同底同軸的圓錐或圓錐截段的體積的 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 。」
    阿基米德的數學成就和研究方法（一）
  2. 命題 24：「在迴轉拋物面體上，以兩平面切割（任意方式），則分成的兩截段（拋物面體）為它們軸長平方之比。」
    阿基米德的數學成就和研究方法（一）
    截段 APp : 截段 AP'p'
    = AN2 : AN'2

2.4 螺線
古典希臘時期對幾何的研究多限制於能繪製的圖形內，外形奇特的曲線往往被忽視，直至阿歷山大時代才有人打破這種思想，阿基米德便是其中一人（[5]，頁 125）。他在《論螺線》中討論一種新奇的曲線──一直線以一端點（稱為原點）為中心，作均速旋轉，直線的另一端點以均速向外延伸。這種曲線稱為「螺線」（spiral），後來被稱為「阿基米德螺線」，用極方程表示，即 r = aq。
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
沒有人知道他何以繪畫這種曲線，最多相信的說法是他利用了運動學的原理，把兩種速度以向量的形式結合起來，從而畫出螺線，這是史上首個微分概念（[1]，頁 150），第二次出現要直到 1629 年的費馬（Fermat）。然而，阿基米德竟於《論螺線》中提出了在螺線上作切線（tangent）的技巧，他的思維就是這麼匪夷所思。
《論螺線》有 28 個命題，前 9 個是關於圓和切線的比例關係，命題 10 至 12 討論算術級數，其中包括
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
為後來討論螺線的面積問題鋪路。命題 13 至 20 研究螺線的切線，命題 20 帶出了切線的作圖方法：如果 P 是第一圈上的任意一點，作 OP 的垂線 OT，那麼過 P 點的切線將與 OT 交於 T；如果以 O 為圓心，OP 為半徑的圓交起始線於 K，那麼 OT 等於該圓上 K 與 P 間在前段方向與弧長。接著還提出在任意第 n 圈的處理方法。
阿基米德的數學成就和研究方法（一）
由命題 21 開始講述面積，證明方法亦是窮竭法，其中命題 21 指出：
若螺線是 r = aq，則由螺線第一圈和始線所圍圖形的面積 = 阿基米德的數學成就和研究方法（一） 。

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