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塔斯基不动点定理、巴拿赫映射分解定理和康托-伯恩斯坦定理

2013-02-19 17:25阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1560566620

这篇日志简要地介绍塔斯基不动点定理、巴拿赫映射分解定理和康托-伯恩斯坦定理以及它们的关系：
1、塔斯基不动点定理：
1.1，定义：我们称 <A,≤> 是一个完备格 当且仅当 <A,≤> 是一个（非严格）偏序并且 A 的每个子集都有上确界。
事实上，对于任何偏序 <A,≤> ， A 的每个子集都有上确界 当且仅当 A 的每个子集都有下确界。
1.2，定义：设 <A,≤> 是偏序。函数 f:A→A 称为 <A,≤> 上的单调函数 当且仅当 对所有的 x、y ∈ A ，x≤y 蕴含 f(x)≤f(y) 。
1.3，塔斯基不动点定理：每个完备格 <A,≤> 上的单调函数 f 都有不动点（即使得 f(x)=x 的点 x ），并且 f 的全体不动点在 ≤ 下也形成一个完备格。
2、巴拿赫映射分解定理：
若 f:A→B、 g:B→A 是函数，则存在 A 的分解 A=A1∪A2 （A1∩A2=∅）和 B 的分解 B=B1∪B2 （B1∩B2=∅）使得 f[A1]=B1，g[B2]=A2 。
3、康托-伯恩斯坦定理：
若 A 到 B 存在单射并且 B 到 A 存在单射，则 A 到 B 存在双射。
4、三个定理的相互关系：
事实上，巴拿赫映射分解定理 是 塔斯基不动点定理 的特例，而 康托-伯恩斯坦定理 是 巴拿赫映射分解定理 的特
例。
下面详细说明：
塔斯基不动点定理 → 巴拿赫映射分解定理：
我们用 P(A) 表示 A 的幂集。
设 f:A→B、 g:B→A 是函数。显然 <P(A),⊆> 是完备格；显然函数 U |→ g[B－f[A－U]] （ U ⊆ A ）是 <P(A),⊆> 上的单调函数。
由 “塔斯基不动点定理” 得到这个函数的一个不动点，记作 A2 。令 A1 = A －A2，B1 = f[A1]，B2 = B－B1。显然满足 巴拿赫映射分解定理 所要求的条件，证毕。
巴拿赫映射分解定理 → 康托-伯恩斯坦定理：
这是显然的，取 f 、g 分别为 A 到 B 的单射和 B 到 A 的单射即可。

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