第3章 基本几何体的投影-回转体-圆柱和圆锥
2008-11-09 20:46阅读：
3.1.2 回转体的投影
由一条母线（直线或曲线）绕一轴线（直线）回转而成的表面，称为回转面；由回转面或回转面和平面所围成的立体，称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆环和球等，它们的画法与回转面的形成条件有关，现分别介绍如下。
1．圆柱
（1）圆柱面的形成
如图3-11（a）所示，圆柱面可看成是由一条直母线
AA1围绕与它平行的轴线
OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。
（a）圆柱面形成的直观图 （b）圆柱体的投影分析图
（c）圆柱的三视图
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（2）形体特征
圆柱面和上下底面（圆平面）围成的立体称为圆柱体，简称圆柱，如图3-11（a）所示。上下底面之间的距离为圆柱的高，素线和上下底面垂直，其长度等于圆柱的高。
（3）投影分析
如图3-11（b）所示，将圆柱放在三投影面体系中，使其放置成底面平行于
H面，即轴线垂直于
H面，然后向三个投影面投影，得到三个视图。现将圆柱的三个视图分析如下：
俯视图为一圆形线框，反映圆柱上下底面的实际形状，是圆柱的特征视图；由于圆柱面上的素线垂直于底面，所以圆柱面的
H面投影积聚成圆周，即圆柱面上任何点和线的
H面投影都必定积聚在该圆周上。
主、左视图都是矩形线框，是圆柱的一般视图。矩形线框的上、下两边分别为圆柱上、下底面的积聚性投影；矩形线框的左右两边恰好是圆柱面上最左、最右、最前和最后素线的投影，我们通常把这四条确定圆柱轮廓的素线叫做轮廓素线；又由于左右轮廓素线把圆柱面分为前后两半、前后轮廓素线把圆柱面分为左右两半，而前半和左半看得见，后半和右半看不见，所以它们又是看得见和看不见的分界线，称其为转向线。
（4）投影特征
通过上述圆柱体视图的分析，可总结出它的投影特征：①在底面平行（或轴线垂直）的投影面上的投影是圆形，反映底面的真形，圆周则为圆柱面的积聚投影，这个视图是圆柱的特征视图；②另两个投影是全等的矩形线框，且一个矩形上的轮廓素线必在另一个矩形的中间和点画线重合的位置上，它们是圆柱的一般视图。
（5）绘制视图
一般先画圆的中心线、轴线，其次画出投影是圆的特征视图，最后画出两个全等的矩形视图。
（6）圆柱表面取点、取线
圆柱面上点的投影，均可用柱面投影的积聚性求得，而表面取线则是作出线的端点、线和轮廓素线的交点等多个点的投影，判断可见性后光滑连接。
【例3-3】
已知圆柱面上
A、
B、
C、
D四点的一个投影如图3-12（a）所示，求作其余两面投影。
分析：点
A、
B处在圆柱面最右、最前转向轮廓素线上，是特殊点，可直接求出；点
C、
D是一般位置点，因为圆柱面的投影有积聚性，所以可利用积聚性来求点
C和
D的另两面投影。
作图：如图3-12（b）（c）所示，其中序号①、②指作图的步骤。
（a）题图
（b）求转向轮廓素线上的点
(c) 求一般位置点
图3-12 圆柱面上取点
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判断可见性：由
A点在右面可知其
W面投影
a″为不可见；
B和
C点在前面，所以其
V面投影
b′和
c′为可见；
D点在后面和右面，所以其
W面投影
d″为不可见。
2．圆锥
（1）圆锥面的形成
如图3-13（a）所示，圆锥面可看成是由一条直母线
SA绕与它相交的轴线
OO1回转而成，交点为
S点。圆锥面上任意一条过
S点并与轴线相交的直线，称为圆锥面的素线。
（2）形体特征
圆锥面和底面（圆平面）围成的立体称为圆锥体，简称圆锥，如图3-13（a）所示。
S点为锥顶，底面和锥顶之间的距离为圆锥的高，素线和底面倾斜。
（a）圆锥面形成的直观图 （b）圆锥体的投影分析图
（c）圆锥的三视图
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（3）投影分析
如图3-13（b）所示，将圆锥放在三投影面体系中，使其放置成底面平行于
H面，即轴线垂直于
H面，然后向三个投影面投影，得到三个视图如图3-13（c）所示。现将圆锥的三个视图分析如下：
俯视图为一圆形线框，反映圆锥底面的实际形状，同时也表示圆锥面的投影。
主、左视图是一个等腰三角形线框，它的底边是圆锥底面的积聚性投影；两腰恰好是圆锥面上最左、最右、最前和最后素线的投影，即圆锥的轮廓素线。
（4）投影特征
通过上述圆锥视图的分析，可总结出它的投影特征：①
圆锥面的三个投影都没有积聚性；② 在底面平行（或轴线垂直）的投影面上的投影是圆形，反映底面的真形，是圆锥的特征视图；③
另两个投影是全等的等腰三角形线框，且一个视图上的轮廓素线必在另一个视图的中间和点画线重合的位置上，它们是圆锥的一般视图。
（5）绘制视图
一般先画圆的中心线、轴线，其次画出投影是圆的特征视图，最后找到锥顶并画出两个全等的三角形视图。
（6）圆锥面上取点、取线
处于圆锥转向轮廓素线和底面的点是特殊位置点，可利用投影关系或积聚性直接作出；处于圆锥表面任意位置的点是一般位置点，可利用作辅助线的方法求出。圆锥表面取线则是在线上取多个点，将其投影作出后光滑连接。
【例3-4】
如图3-14（a）所示，已知圆锥底面和转向轮廓素线上的点
A、
B和
C的一个投影，求作它们的另外两个投影。
分析：
由于点
A、
B分别处在圆锥面上最右和最前的转向轮廓素线上，利用点在直线上投影的从属性可直接求出；点
C的水平投影（
c）为不可见，则点
C在圆锥底面上，利用底面的积聚投影可直接求出
C的另二个投影。
作图：由已知投影向另二个投影作投影连线，与最右、最前及三角形的底边的交点即为所求，具体步骤如图3-14（b）所示。
判断可见性：由于点
A在圆锥面的右面，所以其
W面投影为不可见；点
B在圆锥面的前面，所以其
V面投影为可见；点
C在底面的积聚投影上，不需判断可见性，均为可见。
（a）题图
（b）作图步骤
图3-14 圆锥表面取特殊位置点
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【例3-5】
如图3-15（a）所示，已知圆锥面上点
M的一个投影
m′，求作另二个投影。
分析：由于点
M处于圆锥面上的一般位置，且圆锥面的投影没有积聚性，因此，需要用作辅助线的方法求出其投影。为作图方便，常用辅助线有两种：一是通过圆锥面上已知点连接锥顶作出辅助素线，用该方法求出点的投影称为辅助素线法；二是通过圆锥面上已知点作辅助纬线圆，用该方法求出点的投影称为辅助纬线圆法。
（a）分析图
（b）辅助素线法
（c）辅助纬线圆法
图3-15
圆锥表面取一般位置点
作图：
① 辅助素线法
如图3-15（a）所示，过锥顶和点
M作一辅助素线
SⅠ，再根据从属性求出另二个投影。具体作图方法和步骤见图3-15（b）。
② 辅助纬线圆法
如图3-15（a）所示，过点
M在圆锥面上作一垂直于圆锥轴线的水平纬线圆，该圆与圆锥底面平行，其
V面投影积聚为直线（长度等于辅助纬线圆的直径），
H面投影反映圆的实形；然后同样根据从属性求出点的另二个投影。具体作图方法和步骤见图3-15（c）所示。
判断可见性：由于点
M在圆锥面的前面和左面，所以它的三面投影均为可见。
（7）圆台及其三视图
圆锥被平行于其底面的平面截去头部，所剩部分称为圆锥台，简称圆台。圆台及其三视图如图3-16所示，其三视图特征是：一个视图为两个同心圆（分别反映上下底面的实际形状，两圆之间的部分表示圆台面的投影）；另两个视图均为相等的等腰梯形。
