改进的欧拉公式

欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的值。
显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算工作量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改进的欧拉公式。
先用欧拉公式(8.2)求出一个初步的近似值,称为预测值,
它的精度不高, 再用梯形公式(8.5)对它校正一次,即迭代一次,求得yi+1,称为校正值,
这种预测-校正方法称为改进的欧拉公式：
yp=yi+hf(xi+yi);
yc=yi+hf(xi+h,yp);
yi+1=1/2(yp+yc);
上述两组公式在形式上有一个共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,而且增加计算f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉公式:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉公式需计算两次f(x,y)的值，它是二阶方法。
于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y