大学物理实验
2009-04-24 23:35阅读：
实验一 测量误差及实验数据处理
第一节 误差的基本概念
一、测量及误差的定义
1．测量的定义及分类
测量就是将被测量与被定为标准的同一物理量的单位量进行比较，并确定其比值的过程。根据获得测量数据途径的不同或测量条件的不同，测量可分为直接测量和间接测量、等精度测量和不等精度测量。
直接测量是指被测量可以直接从测量仪器（或量具）上读出其数值的测量。
间接测量是指被测量不能用直接测量的方法得到，而是利用若干个直接测量值通过一定的函数关系计算出被测量的数值。
等精度测量是指对一被测量进行重复测量时，认为各次测量数据是在相同测量条件下得到的，也就是说在测量仪器、测量方法、测量人员及测量环境均不变的情况下对同一物理量进行重复测量，所得到的每个测量值都有相同的精度，或者说具有相同的可信赖程度。
不等精度测量就是各次测量数据的精度是不同的。
在以下的讨论中所涉及的测量数据均为等精度的情况。
2、误差的定义
真值：物理量所具有的客观的真实数值。严格地讲，表征在研究某量时所处的条件下严格的确定的量值。真值客观存在，不以人的意志、不以我们测量的工具、手段为转移。真值尽管存在，但是一个理想概念，通常不可能确切知道。
约定真值：能够用来代替真值的称为约定真值。一般认为约定真值非常接近真值，他们之差可以忽略不计，我们就可以用约定真值代替测量值。无系统误差的条件下，算术平均值、标准值、公认值、理论值可以认为是约定的真值。实际中多用算术平均值。
测量误差是测量值与被测量真值之差。记为：
Δx=xi-x0
其中Δx为测量误差xi为测量值，x0为被测量真值。
测量误差总是不可
避免地贯穿与实验过程的始终。
二、绝对误差和相对误差
1、
绝对误差
在测量误差的定义式Δx=xi-x0中，Δx就称做绝对误差。
2、
相对误差
相对误差是绝对误差与真值的比值，即：
E=Δx/|x0|
相对误差通常用百分数表示，故也称百分误差。
第二节
误差的分类及其特点
在实验中，测量误差的来源是多方面的，仅就其性质而言，误差可分为系统误差和随机误差两类。
一、系统误差
在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小恒定，符号总偏向一方或误差按照某一确定的规律变化，称为系统误差。
根据对误差的大小、方向及变化规律掌握的程度，系统误差可分为已定误差和未定系统误差。
已定系统误差是大小、方向和变化规律都已确切掌握了的误差。这里又可进一步分为定值系统误差和变值系统误差。当误差的大小和方向恒定时，为定值系统误差；当误差的变化规律已确定，系统的大小和方向随变化规律而变化是，为变值系统误差如测量仪器的零点有一偏离，偏离的大小和方向是确定的，这个系统误差为定值系统误差；按线性规律变化或周期性规律变化的系统误差就是变值系统误差。
未定系统误差是指误差虽有确定的规律，但这一规律比较复杂或尚不确知，大小和方向不能确切掌握的误差。
1、系统误差产生的原因及其特点
系统误差产生的原因有以下几个方面：仪器误差、理论和实验方法误差、实验人员的误差。
系统误差的特点是：规律性、重现性和可修正性。
2、发现系统误差的方法有：理论分析法、实验对比法、残差观察法等。
3、消除或减小系统误差的方法有：消除产生系统误差的因素、修正法、抵消法、交换法、对称测量法等。
二、随机误差
1、随机误差及产生的原因
随机误差是指测量中出现的大小和方向都难以预料，且变化方式不可预知的测量误
差。但当测量次数足够多时，随机误差的出现和分布总是服从一定的统计规律。
随机误差产生的原因是由于实验过程中存在的某些不可预料或未被掌握而不能控制的偶然因素。
2、随机误差的分布规律及特性
f（x）
（1）正态分布规律
在许多情况下，测量的随机误差服从正态分布规律。
标准化的正态分布曲线如右图所示。图中横轴x表示测量
值，纵轴表示概率密度f（x）
当n →∞时，m=ΣXi/n。其中，m称为总体平均值。
σ称为正态分布的标准偏差，是表征测量分散性的一个重要参量。
这条曲线是概率密度分布曲线。曲线和x轴之间的面积为1，可以用来表示随机误差在一定范围内的概率。如图中阴影部分的面积就是随机误差在±σ范围内的概率，即测量值落在（m―σ，m―σ）区间的概率为P。由定积分计算可得出，其值P=68.3%。如将区间扩大到2倍，则x落在（m―2σ，m―2σ）区间中的概率为95.4%。x落在（m―3σ，m―3σ）区间中的概率为99.7%。
图上表现出以下几个特点：
有界性：绝对值特大的误差出现的机率为0
单峰性：小误差出现的几率比大误差大。
对称性：绝对值相等的误差出现几率相等。
抵偿性：
n →∞ 时，曲线完全对称，ΣΔXi=0 。
（2）有限次测量时，单次测量值的标准差S
实际做实验时，都是有限次测量。因此我们实际应用的都是这种情况下的单次测得值的标准偏差公式，即贝塞耳公式：
S是从有限次测量中计算出来的对总体标准偏差σ的最佳估计值，称为实验标准差。其相应的置信概率接近于68.3%，但不等于68.3%。
三、系统误差与随机误差的联系
测量的总误差由系统误差和随机误差的共同构成。这两类误差不是对立的，甚至有时会遇到两种误差难以严格区分的情况。
四、精密度、正确度和准确度
1、精密度
精密度是指对同一被测量作多次重复测量时，各次测量值之间彼此接近或分散的程度。它是对随机误差的描述，它反映随机误差对测量的影响程度。随机误差小，测量的精密度就高。
2、正确度
正确度是指被测量的总体平均值与其真值接近或偏离的程度。它是对系统误差的描述，它反映系统误差对测量的影响程度。系统误差小，测量的正确度就高。
3、准确度
准确度是指各测量值之间的接近程度和其总体平均值对真值的接近程度。它包括了精密度和正确度两方面的含义。它反映随机误差和系统误差对测量的综合影响程度。只有随机误差和系统误差都非常小，才能说测量的准确度高。
第三节
直接测量结果的表示
一、直接测量结果的表示
直接测量结果的表示式为：
X=x±Δ（单位）
其中X为测量结果，x为被测量值，Δ为总不确定度。此式表示被测量的真值（实际值）一般位于（x―Δ），（x +
Δ）之间，真值落在（x―Δ），（x + Δ）之外的可能性（概率）非常小。
①
关于被测量值x：不考虑已定系统误差时，被测量值x一般取等精度多次测量的平均值x；若实验中只能测一次，被测量x就取单次测量值x1；如需考虑已定系统分量，还必须按下式将测得值或其平均值减去已定系统误差值，得到x值。
（修正后）测量值x=测得值（或其平均值）-已定系统误差（限值）
②
关于总不确定度的计算
总不确定度从评定方法上分为两类分量：
A类分量ΔA：多次重复测量时用统计方法计算的分量；
B类分量ΔB：用非统计方法评定的分量。
这两类分量用方和根合成：
当n取6-10次时ΔA=S；在直接测量中ΔB可近似取计量器具的误差限制Δins，即ΔB≈Δins。Δins一般取基本误差限或示值误差限，或由实验室根据具体情况给定。
所以在物理实验中，不确定度Δ用下式表示：
对于单次测量Δ≈ΔB≈Δins。
二、相对不确定度
为了更直观的评定测量结果的准确度，也常采用相对概念：
相对不确定度Ur=不确定度/被测量值
第四节
间接测量结果的表示
间接测量的结果一般也表示成：
X=x±Δ（单位）
其中X为测量结果，x为被测量的最佳估计值，Δ为总不确定度。
一、间接测量量的最佳估计值x
设间接测量量为φ，它有n个直接测量量，分别为x、y、z……。其函数关系为：
φ=F（x、y、z...）
间接测量的最佳估计值
φ=F（x、y、z...）。即只需把个直接测量量的最佳估计值代入函数表达式，就可算出间接测量量的最佳估计值。
二、间接测量量的不确定度评定
考虑到物理实验课的特殊性，采用如下的近似公式，即
上式中，Δx，Δy，Δz……是直接测量量x，y，z……的总不确定度，φ的总不确定度Δφ等于各直接测量量的总不确定度与相应偏导数乘积的方和根。
第五节
有效数字
一、
有效数字的的概念
1．
有效数字的定义
有效数字定义为可靠数字加上可疑数字。可靠数字是测量中能够准确读出的数字，可疑数字是通过估计读出的数字。测量误差对应在有效数字的可疑位上。
2．与有效数字有关的几点说明
（1）运算中，常数的有效数字一般比参与运算的其它数据的有效数字位数多取1-2位。
（2）数据中，出现在第一个非零数字右边的“0”是有效数字。
（3）有效数字的位数与单位（或小数点的位置）无关。
（4）在科学记数法中，指数的系数部分是有效数字，小数点一般放在第一位数字的后面。
3．有效数字尾数的截取法则——“4舍6入5凑偶”
即：对要保留的末位数而言，视其下一位尾数的情况，若尾数小于5则舍去；若尾数大于5则进“1”；
若尾数等于5，要看末位是偶数还是奇数，是偶数则舍去尾数，保留末位上原有偶数，是奇数则进“1”，把末位上的奇数凑成偶数。
4．测量结果的表示
测量结果都应表示成X±Δx的形式，而且测量不确定度的数字与有效数字的可疑位应该具有相同的数量级，或者说，不确定度数字所在位应该与可疑数字所在位对齐。
不确定度一般取1-2位，当不确定度第一位数字较小时通常取2位，所以，有效数字中的可疑位也与之对应取1-2位。
二、有效数字的运算
有效数字进行运算时，运算结果仍为有效数字。总的规则是：可靠数字与可靠数字运算后仍为可靠数字，可疑数字与可疑数字运算后仍为可疑数字，可靠数字与可疑数字运算后为可疑数字，进位数可视为可靠数字。
对于已经给出了不确定度的有效数字，在运算时应先计算出运算结果的不确定度，然后根据它决定结果的有效数字位数。
1．加减运算规则：
A．如果已知参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先算出计算结果的不确定度，并保留1-2位，然后确定计算结果的有效位数。
B．如果没给出参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先找出可疑位最高的那个有效数字，计算结果的可疑位应与该有效数字的可疑位对齐。
2．
乘除运算规则
若干个有效数字相乘除时，计算结果（积或商）的有效数字位数在大多数情况下与参与运算的有效数字位数最少的那个分量的有效位数相同。
3．乘方、开方运算规则
有效数字在乘方或开方时，若乘方或开方的次数不太高，其结果的有效数字位数与原底数的有效数字位数相同。
4．对数运算规则
有效数字在取对数时，其有效数字的位数与真数的有效数字位数相同或多取1位。
第六节
实验数据的处理方法
一、列表法
在记录和处理实验数据时，经常是制成一份适当的表格，把被测量及测得的数据一一对应地排列在表中，称为列表法。
列表的要求：表格设计要尽量简明、合理；在各项目栏中标明所列物理量的名称（符号）和单位；填写测量数据应按有效数字的要求；数据书写应整齐清楚。
二、作图法
在研究两个物理量之间的关系时，把测得的一系列相互对应的数据及变化的情况用曲线表示出来，称为作图法。
1．作图法的应用：
（1）分析物理量之间的变化规律、验证理论或找出经验公式；
（2）可在曲线上两点间求值也可在其延长线上求值；
（3）若得到的是直线，可求出直线的斜率和截距，从而获得与之相关的物理量数值；
（4）可把某些曲线关系用直线表示（曲线改直）。
2．作图的要求：
（1）一定要用坐标纸。
（2）标明坐标轴代表的物理量名称（或符号）和单位。一般用x轴代表自变量，用y轴代表因变量。
（3）确定（标明）坐标轴单位长度所代表的物理量值及坐标原点数值。
（4）标出数据点。在坐标图上用“〇”或“×”等符号标出数据点的位置；同一张坐标纸上要画不同的曲线时，要用不同的符号标数据点。
（5）连线。连线时应使用直尺或曲线板把点连成直线或光滑曲线；应使曲线尽量通过大多数点，其它点应靠近曲线两侧均匀分布，对个别偏离大的点应进行分析。
（6）注明绘制的曲线名称、绘制人姓名、绘制日期。转载请注明出自六西格玛品质论坛
http://bbs.6sq.net/,本贴地址:http://bbs.6sq.net/viewthread.php?tid=90826
