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斗地主的概率问题之炸弹概率

2015-03-05 21:12阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1581459287

在前面的博客中曾经计算过，斗地主抓到王炸的情况数是：C{15,52}=4481381406320
​对于抓到普通炸弹(有可能也抓到王炸)的情况数为：
C{1,13}C{13,50}-C{2,13}C{9,46}+C{3,13}C{5,42}-C{4,13}C{1,38}
​= 4527496131938
​既抓到王炸又抓到普通炸的况数为：
C{1,13}C{11,48}-C{2,13}C{7,
44}+C{3,13}C{3,40}=290751426160
​ 通过容斥原理，我们还可以算出更多的东西，以上三种情况数尤为重要，文字叙述比较凌乱，看看下面文氏图就会一目了然，还是图片更直观
斗地主的概率问题之炸弹概率斗地主所抓牌的情况
所以可知，如果要求抓到炸弹的情况，就是把抓到普通炸和抓到王炸的总数和减去重复那部分，既抓到王炸又抓到普通炸的情况数，即：
​4481381406320+4527496131938-290751426160=8718126112098


同理，仅抓到王炸的情况数就是用抓到王炸的总数减去重复的既抓到王炸又抓到普通炸的情况，即：​
4481381406320-290751426160=4190629980160​


不再赘述了，同理，仅抓到普通炸的情况数为：
​4527496131938-290751426160=4236744705778
当然，情况数只是建立在总情况数下，没有情况总数就没有意义。若想求其概率，在前面的博客中也提到过，就是将以上数除以分母​C{17,54}，即
​抓到炸弹的​概率为8718126112098/C{17,54}≈18.4889%
仅抓到王炸的​概率为4190629980160/C{17,54}≈8.8872%
仅抓到普通炸（不含王炸​）的概率为4236744705778/C{17,54}≈8.9850%
可见​，仅抓到王炸的概率要比仅抓到普通炸的概率略小，而抓到炸弹的概率高达0.18呢，你感觉到了吗？
​ 但斗地主寻觅炸弹概率的时候往往遇到与底牌相结合的情况，从而判断叫地主时候能拿到炸弹的概率，下面看一个真正的例子：三人斗地主，没拿3张底牌之前，抓到3个7、3个K，三个8，如果这种情况下叫地主能拿到3副炸、2副炸、1副炸的概率是多少呢？
​ 那就得结合到底牌情况数了，如果抓到3个7、3个K、3个8，这种情况数为：C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,37}；因为没叫地主前抓到17张牌，其中已确定3个7、3个K，3个8，那么就有9张牌是属于7、8、K中的牌，在54-12=42张牌中选择剩下17-9=8张牌的组合数就是C{8,42}，因为7、8、K各3张的花色不同，有C{3,4}^3 种情况。此时该考虑底牌问题了，由于任意给定一种7、8、K各3张的组合后剩余的7、8、K就唯一确定了（因为7、8、K都只有4张），再加上剩下没选的牌共54-17=37张中任取3张作为底牌的情况数为C{3,37}。以上就是总体，即斗地主抓到7、8、K各3张并结合底牌结构的情况总数。
那么神马是底牌结构呢？就是底牌的组成，有4种结构，第一，底牌中没有7、8、K；第二，底牌有1张来源于7、8、K；第三，底牌中有2张来源于7、8、K；第四，底牌中有3张来源于7、8、K。说这么别扭，其实就是叫地主后能拿到0个炸，1个炸，2个炸，3个炸的结构。（当然这里说的1个炸、2个炸、3个炸指的是与已经抓到的7、8、K组成的炸）
​先来看看没有炸的结构，比较容易，情况数为：C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,34}；前面的C{8,42}*C{3,4}^3和总情况数中的C{8,42}*C{3,4}^3一个道理。因为底牌没有炸，所以从剩下的且没有7、8、K的34张牌里选3张做组合，即 C{3,34}。
​​再来看看1个炸的结构，其情况总数为：C{8,42}*C{3,4}^3 * C{2,34}*C{1,3}；同理前面的C{8,42}*C{3,4}^3和总情况数中的C{8,42}*C{3,4}^3一个道理。因为3张底牌中有1张来源于7、8、K，其余2张在剩下的没有7、8、K的34张牌里选，即 C{2,34}，最后面的C{1,3}指底牌有1张是来源于7、8、K中，有C{1,3}种情况，这里不用考虑花色，因为7、8、K已经各抓到3张，剩下1张的花色可以唯一确定；而2个炸的结构跟1个炸的结构算法一样，情况数为：C{8,42}*C{3,4}^3 * C{1,34}*C{2,3}，这里就不再赘述了。
最后看看3个炸的结构，比较简单，情况数为：​C{8,42}*C{3,4}^3；同样道理，由于选完抓到的牌后剩下的7、8、K在底牌中也唯一确定，算完花色，就已经确定好了，不用再额外算什么了。
4种情况都弄完了，下面来算算概率吧，没拿到炸弹的概率：​
​C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,34}/[ C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,37} ]=2992/3885
拿到1个炸的概率：​
​C{8,42}*C{3,4}^3 * C{2,34}*C{1,3}/[ C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,37} ]=561/2590
​拿到2个炸的概率：​
​C{8,42}*C{3,4}^3 * C{1,34}*C{2,3}/[ C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,37} ]=17/1295
拿到3个炸的概率：​
​C{8,42}*C{3,4}^3 /[ C{8,42}*C{3,4}^3 * C{3,37} ]=1/7770
仔细想想，其实分子分母前面的​C{8,42}*C{3,4}^3可以约下去，列式子可以不用的，具体怎么解释就不再讨论了，望广大读者积极补充。若有疑问，可以多多评论，大家一起探讨一起学习，一起寻觅隐藏在角落里的真谛！
​ 今天是2015年的元宵节，特此写这篇博客在同一圆月下默默祝福没能阖家团圆辛勤的人们，夜里无聊在单位斗地主的盆友们，希望通过这篇博客能发现斗地主鲜为人知的另一面……
​2015-03-05 23：30
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