以初等数论的方法证明费马大定理
2010-06-06 11:56阅读：
以初等数论的方法证明费马大定理
费马大定理已于1993年为年轻的数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew John
Wiles）给出了证明。这是一件非凡的壮举，从此了结了数学家以及数学爱好者们长达300多年的夙愿。但是令非数学专业人员满意的美妙证明方法仍未能找到。本人不是数学工作者，只是一个对数学抱有浓厚兴趣的工程技术人员，自知数学能力极为有限，但是仍然想为寻找为费马称为美妙证明方法尽己力所能及。
1. 证明的准备工作
1） 费马小定理
如果对于任意满足1 < b < n的b下式都成立：
bn - 1 ≡ 1 (mod n)
则n必定是一个素数。
2) 伪素数:
若n能整除an - 1 - 1 (a >
1),并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。
伪素数虽满足费马小定理，但其本身却不是素数。最小的伪素数是341。有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。美国数学家卡迈克尔在1912年发现了绝对伪素数,所以又称其为卡迈克尔数,为了判别什么样的整数是卡迈克尔数,他发现了一个准则:
如果整数n满足如下条件
(1) n没有平方因子,即n没有相同的素因子;
(2) n是奇数且至少有3个不同的素数因子;
(3) 对于n的每一个素数因子p,p-1能够整除n-1;
则 n 必为卡迈克尔数.反之,如果 n是卡迈克尔数,则 n必满足上述3个条件。
3) 素数判定：
当一个数满足费马小定理，且不是一个伪素数时，它就是一个素数。
4) 索菲·热尔曼(Sophie Germain)关于费马大定理证
明的情形分类：
索菲·热尔曼是近代史上一位为数不多倾心并且献身于数学的女性，她在寻找费马大定理证明的过程中，将证明分为两个情形来进行证明。
情形1是：
方程x
n + y
n =
z
n, n 为素数，x,y与z的其中有一个为n整除。
情形2是：
方程 x
n + y
n =
z
n, n 为素数，x,y与z的其中任何一个都不为n整除。
索菲·热尔曼理论上完成了情形1的证明，并且给后人留下了著名的热尔曼素数和热尔曼定理。
2.
费马大定理的证明
在此处我的证明只涉及索菲·热尔曼的情形2，即方程x
n + y
n = z
n
, n 为素数，且x,y与z的其中任何一个都不为n所整除。
首先可以把方程 x
n + y
n = z
n
变形为以下形式，
[(x + y) - y]
n + y
n = z
n
（1）
将（1）展开可以得到以下形式（2）和(3)，
|
|
|
| yk(x + y
)n - k(-1)k + y
n = z n
(2) |
|
|
(x + y ) n + ∑ |
n - 1 |
C |
| k = 1 |
|
|
| yk(x + y )
n - k(-1)k = z
n
(3) |
|
|
|
|
将(3)的双边同处以(x + y) 可以得到形式(4)，
| (x +
y ) n - 1 + ∑ |
n - 1 |
C |
| k = 1 |
|
|
| yk(x + y )
n - k - 1(-1)k = z
n/(x + y)
(4) |
|
|
|
|
根据2项式展开的性质，可以得出（x + y）因子集合必为 z
n的因子集合，
如果用（x + y）的因子集合 q
z 和 非（x + y）的因子集合p
z 去表示
z
n的话，式(4) 可变形为
| (x +
y ) n - 1 +∑ |
n - 1 |
C |
| k = 1 |
|
|
| yk(x + y )
n - k - 1 (-1)k =
qz npzn/(x + y)
(5) |
|
从式(5)可得出 x + y = q
zn,
从而得到式(6)，
| (x + y )
n - 1 +∑ |
n - 1 |
C |
| k = 1 |
|
|
| yk(x + y )
n - k - 1 (-1)k =
pzn
(6) |
|
由于是索菲·热尔曼的情形2， x,y与z的其中任何一个都不为n整除，即(x + y
)也不能为n所整除。根据费马小定理可知(x + y)
n - 1 -1 ≡0 mod n,
同时p
z - 1 ≡0 mod n，并且p
zn -1 ≡0 mod
n
2 即 (x + y)
n - 1 -1 ≡0 mod
n
2。显然n 虽然是一个素数，但是n
2既不是素数也不是伪素数。所以如果(x +
y)
n - 1 - 1 ≡0 mod n
2 成立，也就意味着(x + y ) - 1 ≡
0 mod n
2 也成立。
即 (x + y ) = a
z*n
2 + 1
(*1)
以同样的方法可以得出p
yn -1 ≡0 mod n
2
和p
xn -1 ≡0 mod n
2
以及下述结论 ，
(z - x) =
a
y*n
2 +
1
(*2)
(z - y) =
a
x*n
2 + 1
(*3)
这样就会导致方程 x
n + y
n =
z
n的两边同去进行运算mod n时会出现以下情形，
1 + 1 = 1 mod n
也就是说如果方程 x
n + y
n = z
n 的两边同去进行运算mod
n时成立，方程式中的 x 与 y 必有一个为 n 整除。即方程 x
n + y
n =
z
n 在索菲·热尔曼的情形2的假设条件下，不存在有一组整数解(x,y,z),且其中任何一个都不可以为n整除,
从而证明费马大定理成立。
参考文献
1.
陈景润， 初等数论；
2.
北村泰一，数论入门；
3.
罗永超，费马大定理第一情形的证明；
4.
Reinhard Laubenbache， Sophie Germain's grand
plan to prove Fermat's Last Theorem
5.
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