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点在平面上的射影

2009-04-12 17:58阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1584955595

在立体几何中如何求点在平面上的射影，很多学生感到很困难。我们知道，圆錐的顶点在底面上的射影为底圆的圆心，正棱錐的顶点在底面的射影为底面正多边形的中心。但是对于一般棱錐，顶点在底面上的射影如何确定呢？我们仅以三棱锥为例：（1）若三棱錐的顶点到底面三角形的两边等距，则顶点在底面的射影在这个角的平分线上（2）若三棱錐的顶点到底面三角形三边的距离相等，（或三条侧面与底面所成之角都相等）则顶点在底面上的射影为这个三角形的内心（3）若三棱錐的顶点到底面三角形三个顶点的距离相等，（或三条侧棱与底面所成之角相等）则顶点在底面的射影为这个三角形的外心（特别底面是直角三角形，顶点在顶面上的射影为这个直角三角形斜边的中点）（4）若三棱錐的三条侧棱各自垂直于与其共面的底边，则顶点在底面上的射影为这个三角形的垂心
但是很多情形并不是上述那么简单，請看下面一例
点在平面上的射影 巳知 ：在三棱锥A一BCD中，AB＝AC，DB＝DC，求作A在底面ABC上的射影（见上图）
分析：AB＝AC，DB＝D
C＝＞取BC的中点E，连AE，DE＝＞AE⊥BC DE⊥BC＝＞BC⊥平面ADE＝＞平面ADE⊥平面BCD 我们又知道，两平面亙相垂直，在一个平面内作这两平面的交线的垂线必垂直于另－个平面，为此我们只要在平面ADE内过A作DE的垂线AF，垂足为F，F就是A在底面上的射影。从这个例题我们受到很大启发，就是要过A作一个与底面垂直的平面，从而画出了交线，使问题得到解决。
但是有时交线不易画出，给我们又带来了新的困难，为了解决这个问题,我们还是以这个例题为例（条件不变）求C点在平面ABD上的射影（見下图）
在平面BCD内过C点作CG⊥DE＝＞CG⊥AD，在平面ACD内作CK⊥AD＝＞AD⊥平面CGK，延长CG交BD于H，连KH＝＞AD⊥平面CHK＝＞平面ABD⊥平面CHK且交线为HK＝＞在平面CHK内过C作CQ⊥HK＝＞CQ⊥平面ABD＝＞
Q点就是C在平面ABD的射影。
解决了这个问题，求点到平面的距离，直线与平面所成之角，体积等问题也随之解决了。
点在平面上的射影







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