浅谈质数的分布规律
2009-11-27 23:24阅读：
浅谈质数的分布规律
内容摘要：自然数有无穷多个，其中的质数也有无穷多个。质数在自然数中是怎样分布的呢？本文认为大于4的质数都和6的倍数为邻，即大于4的质数都是6n-1（n为任意正整数，下同）或6n+1之类的数，但这一类数并不全都是质数。哪些不是呢？我们可以用不大于一个数的算术平方根的所有质数去除这个数，若余数全不为0，则这个数就是质数，否则这个数是合数。这个方法对于比较小的数是可行的，对于较大的数就显得有点笨拙了。为了走捷径，本文探讨出了判定公式。运用这些公式，可以方便地把一定范围内的6n-1和6n+1中的合数全都找出来，而剩下的就全都是质数了。
关键词：哥德巴赫猜想质数分布规律 正整数 6n-1 6n+1
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哥德巴赫猜想是探讨质数与大于2的偶数及大于5的奇数的关系的，欲证明哥德巴赫猜想，有必要先明白质数在自然数中的分布规律。
质数的概念在小学阶段就已初步建立。大于1的自然数，如果只有1和本身两个约数，则这个数就是质数。
我们可以列出100以内的质数表，也可以列出1000以内的质数表。乍一看质数表，除质数的个数随自然数的增大而逐渐变稀少这个总趋势外，质数的分布似乎没有什么规律，其实不然。我们先看100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
这些质数中，小于4的有两个，即2和3，大于4的质数不是比6的倍数多1，就是比6的倍数少1。这是什么原因呢？
我们知道，大于4的质数不能是偶数，因为偶数都是2的倍数，所以大于4的质数只能是奇数。但大于4的奇数中3的倍数也不是质数，所以只有比6的倍数多1和比6的倍数少1的数才有可能是质数，因为这些数既不是2的倍数也不是3的倍数，100以内大于4的质数全是这样的数，100到1000以内的质数也全是这样的数……可以断定大于4的质数都是这样的数，但这样的数并不全是质数，大于5的奇数中5的倍数都不是质数，大于7的奇数中7的倍数也都不是质数，这个结论对于大于0的所有自然数都是适用的。
综上所述，若设n为任意正整数，则大于4的质数都是6n+1和6n-1这类数，但6n+1和6n-1这类数并不全是质数。
6n+1和6n-1中那些数不是质数呢？
通过长时间观察探索，我发现下面的方法挺有用。设m是任意正整数，当n=5m-1，7m+1，11m-2，13m+2，17m-3,19m+3,
23m-4,25m+4,29m-5,31m+5,35m-6,37m+6,41m-7,……时， 6n+1不是质数，当n=5m+1，7m-1,11m+2,13m-2,17m+3,19m-3,
23m+4,25m-4,29m+5,31m-5,35m+6,37m-6，……时，6n-1不是质数。比如当m=1时，6n+1中的n=4,8,9,14,15, 19, 22,24,29, 34,36,43,……，6n+1的取值分别是25，49，55，85，91，133，145，175，205，217，259，……，经检验这些数都不是质数，而这时6n-1中的n=6，11，13，16，20，21，26，27，31，34，41，……，6n-1的取值分别是35，65，77，95，119，125，155，161，185，203，245，……，经检验这些数也都不是质数。用同样的方法可以验证m取其它正整数时的情况。这个规律还可以用公式表示。若a表示6n+1（n为任意正整数）一类数，b表示6n-1（n为任意正整数）一类数，则当n=am+和n=bm-时，6n+1不是质数；而当n=am-和n=bm+时，6n-1不是质数。除此之外，n的其它取值都能使6n+1或6n-1成为质数。
利用这个规律，可以快捷准确地制作质数表，也可以方便地判定某个自然数是否质数，除此之外，这个规律还有更重要的用途。
设当6n+1为质数时n的所有取值的集合为N1，n1为集合N1中的元素，并设当6n-1为质数时n的所有取值的集合为N-1，n-1为集合N-1中的元素，则有N1={ n1|
n1=1，2，3，5，6，7，10，11，12，13，16，17，18，21，22，23，25，26，27，30，32，33，……， }，N-1={
n-1|n-1=1，2，3，4，5，7，8，9，10，12，14，15，17，18，19，22，23，25，27，28，29，30，32，33，34，…… }。利用N1和N-1还可以推算出6n+5为质数时n的所有取值的集合N5和6n-5为质数时n的所有取值的集合N-5以及6n+7为质数时n的所有取值的集合N7和6n-7为质数时n的所有取值的集合N-7等等，再利用这些集合或许能攻克哥德巴赫猜想。
