[转载]（转载）铁木辛柯梁、欧拉-伯努利梁

2019-10-21 10:05阅读：

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原文地址：（转载）铁木辛柯梁、欧拉-伯努利梁

原文作者：Wei_Jiebin

铁木辛柯梁理论是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。^[1]

欧拉-伯努利梁：弯曲梁，线弹性理论的简化，只考虑横向弯曲，可以看作铁木辛柯梁的特例。
铁木辛柯梁：考虑剪切和转动效应，可以处理“短梁”。

本文的理论和算例均来自Seon M. Han等（1999）的论文。目前，梁理论主要有四种：Euler-Bernoulli梁理论、Rayleigh梁理论、Shear梁理论、Timoshenko梁理论。Euler-Bernoulli梁理论，

又称工程梁理论，最早出现，获得了广泛的应用。它简单易用，并且对许多问题都能给出可以接受的工程近似解答。Euler-Bernoulli梁理论轻微的高估了高阶阵型的频率，同时，对于细长梁的解答要优于非细长梁。 Rayleigh梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，考虑了梁横截面转动的影响，一定程度上降低了Euler-Bernoulli理论对频率的高估程度，但Rayleigh理论依然高估了梁的频率。Shear梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，考虑了梁截面剪切变形的影响，大大降低了Euler-Bernoulli理论对频率的高估程度，但Shear理论依然高估了梁的频率。Timoshenko梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，同时考虑了梁横截面转动和剪切变形的影响。对于剪切和转动效应不可忽略的情况，如非细长梁和高阶模态，分析结果有显著改进。
以上四类梁理论的区别见下表：

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需要指出的是，对于细长梁，梁横截面转动的影响并不显著（绕梁轴线的扭转除外）。对于较厚的梁，转动效应对动力分析有一定影响，但影响程度要比剪切变形小。Traill-Nash和Collar（1953）对一非细长梁进行了试验研究，并分别采用Euler-Bernoulli理论、Shear理论和Timoshenko理论进行了数值计算，分析了其误差。
总之，当长细比较大( >100 )时，可采用Euler-Bernoulli理论，当长细比较小时，可以采用Shear梁理论或者Timoshenko梁理论。

本文采用SAP2000软件计算了《计算固体力学原理与方法》一书算例2.5-1，通过对比理论解答和有限元解答，以期对梁单元有更深入的认识。需要指出的是，SAP2000中的FRAME element是基于Shear梁理论的，即在欧拉-伯努利梁理论的基础上考虑了截面剪切变形，但没有考虑截面转动的影响。（当取剪切面积修正系数为0时，模型退化为欧拉-伯努利梁）

由上述表格，可以得出下属一般性结论（较书籍原文有改动）：
1.剪切梁的结果小于或等于欧拉梁的结果，即剪切梁较欧拉梁柔。随着阶次的提高，二者之间的差别越来越大。剪切梁的结果更接近实际情况。
2.利用集中质量矩阵的有限元结果小于等于理论结果，即结果偏柔。
3.利用集中质量矩阵时，单元数少的结果小于等于单元数多的结果，即结果偏柔。随着单元数的增加，有限元结果从小向大逐渐收敛到理论结果。
4.随着单元数目的增加，剪切梁结果的收敛速度小于等于欧拉梁结果的收敛速度。

^{参考资料：}
^{http://baike.baidu.com/view/10326802.htm}
^{http://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Bernoulli_beam_theory}
http://en.wikipedia.org/wiki/Timoshenko_beam_theory [转载]（转载）铁木辛柯梁、欧拉-伯努利梁

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原文链接：

梁理论分类
^{http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_59f421580100sik5.html?vt=4}
SAP2000梁单元算例--理论解vs有限元解
http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_59f421580100siu3.html?vt=4
欧拉-伯努利梁与铁木辛柯梁
http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_51b4da5a01018vg8.html?vt=4

Seon M. Han论文下载
Seon M. Han ---Dynamics of Transversely Vibrating Beams using four Engineering Theories
备用下载地址：http://pan.baidu.com/share/link?shareid=475483&uk=1309135005

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