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测量误差的基本知识

2009-09-09 22:24阅读：

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第六章 测量误差的基本知识

第一节 概 述
在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:
测量真误差=真值-观测值
一、误差产生的原因:
1．观测者
由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器
每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联
二 观测误差分类：
1．系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。如某钢尺的注记长度为30m，经鉴定后，它的实际长度为30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m的系统误差。这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢尺丈量结果为167.213ｍ，则实际长度为：
167.213＋ ×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ)
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：
1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。
2．偶然误差
在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。
从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。
1) 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。
2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。
3）绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。
4)偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。
(5-1)
式中： =D1+D2+…+Dn；
n——观测次数。
第二节 算术平均值
研究误差的目的之一，就是把带有误差的观测值给予适当处理，以求得最可靠值。取算术平均值的方法，就是其中最常见的一种。

一、原 理

在等精度观测条件下对某量观测了n次，其观测结果为L1，L2，…Ln。设该量的真值为X，观测值的真误差为D1，D2…，Dn，即
D1 =X - L1
D2 = X -L2
…… ……
Dn= X -Ln

将上列各式求和得：
=nX- 
上式两端各除以n得：
令
代入上式移项后得：
X = x +δ
δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→∞时，δ→０，则有：

这时算术平均值就是某量的真值。即：

在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来求得算术平均值，即：

x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。

二、最或是误差(改正数)及特性

最或是值与观测值之差称为最或是误差，又名观测值改正数，用V表示，即：

Vi = x - Li (i=１，２，…n)
取其和得：
= nx - 
∵
∴ (5-4)
这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。
第三节 评定观测值精度的标准
研究误差的又一目的，是评定观测值的精度。
要判断观测误差对观测结果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种：
一、中 误 差
1．用真误差来确定中误差
在等精度观测条件下，对真值为Ｘ的某一量进行n次观测，其观测值为L1，L2…Ln，相应的真误差为Δ1，Δ2…Δn。取各真误差平方的平均值的平方根，称为该量各观测值的中误差，以ｍ表示，即：
Δi = X - Li
(5-5)
2．用改正数来确定中误差
在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。
即：
Vi=x-Li (i=１,２，…n) (5-6)
(5-7)
例一 设用经纬仪测量某角五次，观测值列于表5-2中，求观测直的中误差。
表5-2
观测次数
 观测值L
 Δ=L-L0
 V=x-L
 VV
 计算
1
2
3
4
5
 56°32′20″
56°32′00″
56°31′40″
56°32′00″
56°32′30″
 +20
00
-20
00
+30
 -14
+6
+26
+6
00-24
 196
36
676
36
576
56°32′00″
校核

±19.49″

L0=56°32′00″
 +30
 -200
 +1520

二、容许误差

由偶然误差的第一特性可以知道，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度观测误差中，大于两倍中误差的个数占总数的5%，大于三倍中误差的个数占总数的0.3%，因此，测量上常取2倍或3倍中误差为误差的限值，称为容许误差，即：
(5-7)

三、相对误差

衡量测量成果的精度，有时用中误差还不能完全表达观测结果的优劣。例如用钢尺分别丈量两段距离，其结果为100m和200m，中误差均为2cm。显然，后者的精度比前者要高。也就是说观测值的精度与观测值本身的大小有关。相对误差是中误差的绝对值与观测值的比值。通常以分子为1的分数形式来表示，即：

(5-8)
如上述前者的相对误差K1= ，后者的相对误差K2= 说明后者比前者精度高。
相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是带有测量单位的数值。









第四节 误差传播定律及其应用
在测量工作中，有些未知量不可能直接测量，或者是不便于直接测定，而是利用直接测定的观测值按一定的公式计算出来。如高差h=a-b，就是直接观测值a、b的函数。若已知直接观测值a、b的中误差ma、mb后，求出函数h的中误差mh，即为观测值函数的中误差。
一、线性函数
F = K1x1±K2x2±…±KnXn (5-9)
式中：F ——为线性函数；
K1 ——为常数；
x1 ——为观测值。
设x1的中误差为m1 ，函数F的中误差为mF，经推导得：
m2F = (K1m1)2 + (K2m2)2 + … (Knmn)2 (5-10)
即，观测值函数中误差的平方，等于常数与相应观测值中误差乘积的平方和。
二、非线性函数

其分微分为

　

可写成

其相应的函数中误差式为

即
例二在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。
解：D=MS=500×163.6(mm) =81.8(m) (M为比例尺分母)
mD=MmS=500×0.2(mm) =±0.1(m)
∴ D=81.1±0.1(m)
例三 在三角形ABC中，∠A和∠B的观测中误差mA和mB分别为±3″和±4″，试推算∠C的中误差mC。
解：∠C=180°-(∠A+∠B)
因为180°是已知数没有误差，则得；
m2 C= m 2A+ m 2B
∴ m C=±5″
例四 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=-6.625m±3mm，试求总的高差及其中误差。
解：h = h1 + h2 + h3=15.316+8.171-6.625=16.862(ｍ)
m 2h= m 21+ m 22＋m 23=52+42+32
m h=±7.1(mm)
∴ h=16.882m±7.1mm
例五 设对某一未知量P，在相同观测条件下进行多次观测，观测值分别为L1, L2…Ln，其中误差均为m，求算术平均值x的中误差M。
解：

式中的 为常数，根据公式(5-10)，算术平均值的中误差为：
M2= ( m1)2＋( m2)2＋…＋( mn)2
因为m1=m2=…mn=m，得：

(5-11)
从公式中可知，算术平均值中误差是观测值中误差的 倍，观测次数愈多，算术平均值的误差愈小，精度愈高。但精度的提高仅与观测次数的平方根成正比，当观测次数增加到一定次数后，精度就提高得很少，所以增加观测次数只能适可而止。
例六 表5-2中，观测次数n=5，观测值中误差m=±19.5″，求算术平均值的中误差。
解： =±8.7″
例七 三角形的三个内角之和，在理论上等于180°，而实际上由于观测时的误差影响，使三内角之和与理论值会有一个差值，这个差值称为三角形闭合差。
设等精度观测n个三角形的三内角分别为ai、bi和ci，其测角中误差均为 = ma = mb =mc，各三角形内角和的观测值与真值180°之差为三角形闭合差fβ1、fβ2、……fβn即真误差，其计算关系式为
fβi = ai + bi + ci-180°
根据(5-10)式得中误差关系式为：
m2fβ = m2a + m2b + m2c = 3m2β
∴ mfβ=±m
由此得测角中误差为：
mβ=±
按中误差定义，三角形闭合差的中误差为：
mfβ=±
将此式代入上式得：
mβ=± (5-12)
式(5-12)称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度的基本公式。

































本 章小 结
一、基本概念
1.测量误差=真值-观测值。
2.观测误差按性质分为系统误差和偶然误差。
3.算术平均值： （L1，L 2，…L n为等精度观测值）
4.最或是误差：Vi=x-Li (i=1，2，…n) 且
二、评定观测值精度的标准
1.中误差：
(Δ1=X-L1，X为真值)
（Vi=x-Li）
2.允许误差：
Δ容=±2m
或：Δ容=±3m
3.相对误差：
Ｋ=
4.算术平均值中误差及相对误差：
Ｍ＝± Ｋ＝

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