自然数计数单位和数位的作用及其教学策略
2013-10-20 15:34阅读：
自然数计数单位和数位的作用及其教学策略
自然数是人们在计数活动中总结出来的一个抽象概念，计数单位和数位更是在认识自然数的基础上进一步抽象的而形成的。在教学运用什么样的策略让学生理解这一多级抽象的概念，是我们一线教师应该思考的问题。在实际的教学中，由于很多教师对这一内容教学不够重视，从而造成了学生计数单位、数位概念理解出现偏差，数感的缺失，计算能力的下降，使得学生数学学习的可持续性发展受到一定程度的影响。为了提高计数单位和数位教学的有效性，我们抓住市《数与代数领域中数的概念教学有效性案例研究》课题组对数概念教学进行研究的契机，以新世纪小学数学教材为研究对象，在解读教材、了解学生、进行课堂生成分析的基础上，对自然数的计数单位和数位教与学进行较为全面、系统地探讨与实践探索。在实践探索中逐步我们认识到：教师只有认识到了计数单位和数位概念在数的形成过程中，对于理解数的意义的作用，才有可能有效地实施教学。
那自然数计数单位和数位对于理解数的意义究竟起着怎样的作用呢？
一、计数单位和数位是数认识的基础。
2011版《数学课程标准》中指出：数的认识主要包括对数的大小的体验、数表示的含义、能用数描述事物的特征、能用数进行日常交流等。那么，计数单位和数位是怎样出现在人们对数的认识中的呢？随着生活水平的不断提高，人们所接触到的物品数量越来越多，计数不再仅仅限于一个一个去数这一单一模式，需要运用不同的计数模式来计数。计数单位就是每种计数模式计数的基本单元。随着计数单位的增多，每个计数单位个数所表示的意义不同，如果把这些计数单位随便乱写乱放，可能就会造成计数的混乱或者是交流的困难，这些计数单位需要按照一定的大小顺序排列起来，每个计数单位在这个顺序中都有一个相应的位置，这样就形成了数位。从数位和计数单位的形成可以看出：
1、计数单位使得数“结构化”。
人们对不同的计数模式进行不断地优化，得出十进制计数法是一种较为便捷的计数方法，它最大的优势在于无论多大的数，都只需要用0——9这10个数字来计数，使得每一段计数都极具规律性。不同的计数单位的运用使得这种规律性具有结构化的特征，也就是这种结构化，使得抽象的数具有了直观性，思维有了附着点，人们对抽象数的认识就能更加深入。
2、数位丰富了数字的意义。
数结构化
的产物是数位，数位的出现，使得数字的意义变得更加丰富。比如：十进制计数法中的3这个数字，没有数位仅仅表示3个，有了数位，它不但可以表示3个，还可以表示30个、300个……，同是一个数字3在不同的数位表示的数量多少就不同。
3、计数单位和数位使得数利于交流。
计数单位和数位的出现，使得数的大小比较，不再需要一一对应得出，而是直接通过比较计数单位及其个数就能得出。有了这种比较方法，人们利用数描述事物特征、进行日常交流就更加准确、方便。
总的说来，计数单位和数位使数得到了进一步的抽象，同时抽象的结果——位值制也为人们认识数提供了直观的思维方式。
二、计数单位和数位是数运算的基础。
《数学课程标准》中指出：数的运算主要包括理解四则运算的意义、能进行四则运算、能运用数的运算解决实际问题，并对结果进行合理解释。那么计数单位和数位在数的运算中起着什么作用呢？
1、计数单位是算理的保障。
数是一个过程性的概念，不同的过程会产生不同的概念，产生新概念的过程就是数的运算。数的运算是怎样进行的呢？其本质就是计数单位的运算。比如：50＋30=80，就是5个十加上3个十，等于8个十；50×30=1500的计算过程是，50×30=（5×10）×（3×10）=（5×3）×（10×10）=15×100=1500。
2、计数单位和数位是算法的依据
对于数的理解不同，在运算中就会产生不同的算法。不管是程序性的竖式笔算，还是个性化的口算心算、横式笔算，计数单位和数位都是其计算的依据。比如：50＋3，为什么5不能和3直接相加？就是因为5和3的计数单位和所在的数位不同，5在十位上表示的是5个十，3在个位上表示的是3个一，所以需要把十位上的5计数单位化得和3一致才能相加，即：50个一加上3个一等于53个一，结果就为53，也就是加法计算为什么要相同数位对齐的依据；竖式计算
，都是1×53，为什么第二部分积中的3要和十位对齐而不和
个位对齐呢？是因为两个1所在的数位不同，所表示的意义也就不同。个位的1和53相乘表示的是1个53，十位的1和53相乘表示的是53个十，因此，这个3应该和十位对齐。计数单位和数位成为了乘法竖式计算的依据。
总的说来，计数单位和数位既是理解运算意义的出发点，又是执行运算的落脚点，更是检验运算的根据。
了解了计数单位和数位在数的认识及运算中的作用，帮助学生建立计数单位和数位的概念，教师又应该有着怎样的教学策略呢？
一、 注重数（shǔ）数活动。
“数源于数（shǔ）”，没有数的过程，就不可能产生自然数，自然数中的概念的建立和运算都离不开数数，数数活动应该贯穿于整个计数单位和数位教学之中。由于计数单位和数位概念形成有它的特点，因此概念形成的各个阶段数数活动的侧重点是不同的。
1、 概念建立前数数重“比较”，经历概念形成过程，体验十进制计数法的快捷性。
数的抽象属于等势抽象，十进制计数单位是在不同的计数方法中优化形成的。因此，在计数单位概念建立之前的数数应该重视比较不同的方法，在比较中体验运用十进单位计数的优越性。一年级下册《捆小棒》一课，计数单位概念建立之前，充分让学生用不同的方法数11，交流自己数的方法，教师把这些方法逐一板书出来。
在这种直观形式下，学生能够体会到几种数法都是11根，但不同数法的摆放形式是不同的，意义也是不同的，他们的区别在于计数单位不同，在此基础上教师追问：哪种摆法能够一眼看出是11根？从而得出1个10根和1个单根的摆法能一眼看出；一年级下册《数铅笔》一课，在引入计数单位“百”之前，让学生数杂乱无序的铅笔，面对多个的物品，在数铅笔前学生需要考虑怎么数：是点数，还是二个、五个，包括十个一捆去数，教师在交流时，通过比较不同的数法，体验到了十个一捆的数法的快捷性；二年级下册《数一数》一课，在认识计数单位“千”之前，教师设计“看谁数得快”比赛活动，学生在数立方体模型中小立方体个数的时候，方法不尽相同，因而快慢各异，教师通过交流比较出先10个10数，然后再100个100个这种数法最为快捷。
在概念建立之前的数数活动，除了注重比较之外，还应该注重交流。因为每个人生活的环境不同，生活的经验不同，思维的方式也不同，所以，面对同样的物品，学生的数法也是不同的。只有在交流中，这些不同的数法（摆法）才可能尽显无遗，只有在比较中学生才能清晰体会到十进计数的快捷。有了这样的一次次的比较，久而久之，十进制计数法就会在学生心中烙下深刻的印象。
2、 概念建立时数数重“直观”，理解概念的内涵，感受概念建立的必要性。
计数单位和数位对于小学生来说，是比较抽象的概念，因而，在教学中应该借助于直观形象的学习材料来帮助学生理解概念的内涵。如：《捆小棒》一课，在学生得出1个10根和1个单根和能一眼看出是11根之后，顺势形象地把10根小棒捆在一起，使得11结构化，建立了数位的雏形。再如：建立计数单位
“百”时，教师设计的数数活动：学生一边10个10地数，一边在计数器上操作拨数，数到9个10，教师问：9个10是90，再数一个10，是几个10？10个10在计数器如何拨？有的学生在十位上拨出10颗珠子，有的学生在百位上拨出1颗珠子，针对一个数两种不同的表达形式，教师问：究竟那种拨法是正确的呢？学生通过内省，和以前的知识建立联系，明确十位上已经满了十，应该向它的前一位进一，从而体会到新的计数单位“百”建立的必要性，认识到10个10就是一百。计数单位“千”、“万”、“亿”的教学都可以仿照“百”的认识来进行。
在注重直观的时候，教师不能急于求成，应该给学生充分思考空间，通过不断地追问学生，暴露其思维过程，真正让学生和已有的知识体系之间建立起联系，达到理解的理解概念的目的。
3、概念建立后数数重“形式”，促进对数的本质理解，建立数与生活的联系。
数的意义具有多样性，概念建立之后，学生是否就对其真正理解和掌握了呢？在《捆小棒》一课，学生建立了数位概念之后，教师要求学生继续数11—20的其他各数，学生在计数器上顺利拨出
“19”后，老师摆出1捆和10单根的“20”，指名学生在计数器上拨出。学生很快在计数器十位上拨出1颗，又在个位拨第10颗，但有疑惑，经过大约2—3分钟的思量，才把个位清零，在十位上又拨一颗珠子，但最终还是不敢肯定自己的操作是否正确，这足以说明概念建立之后学生对数的概念和意义还没有真正理解。根据《数学课程标准》对理解和掌握的概定，要能描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系才算理解；在理解的基础上把对象用于新的情境才算掌握。因此，在计数单位和数位的概念建立后，借助于不同的生活情境，开展形式多样、多角度的数数活动才能帮助学生很好地理解和掌握数的意义。比如：《数铅笔》一课，在学生了解了计数单位“百”之后，教师设计了从数排列有序的物品到数不规则排列的物品；从数具体的实物到数抽象的点子，再到脱离实物数数，从数图片中的素材到数生活中的素材。学生在多种形式、多角度的数数活动中对概念有了更深一步的理解，同时也对基数、序数的意义有了体会。
二、 注重计数器的使用。
怎么样使抽象难懂的计数单位和数位让学生易于理解？根据多元表征理论和皮亚杰的认知理论，需要在操作、语言
、表象和符号各表征之间建立起联系，才能使得学生能够由具体到抽象、然后又由抽象回到具体。直观、结构化的计数器模型恰好在抽象和具体之间架设了一道桥梁，使得具体的数数、计数等操作活动能够借助于计数器认识抽象结构化的数及计数单位和数位；抽象的数字有了直观的计数器作为表象支撑，能够为抽象结构化的数及计数单位和数位寻找到思维的着力点，从而帮助学生理解概念、突破认知难点，跨越由具体到抽象的“鸿沟”。既然计数器在数的概念教学中起到这么大的作用，那么究竟什么时机运用计数器，才能使其作用最大化呢？
1、适时引进计数器，帮助理解概念。
以《捆小棒》为例，学生建立10根1捆的概念之时，通过教师的板书，计数器的雏形才得以出现。可是，计数器是学生第一次认识，特别是十位上每个珠子所表示的含义与学生原有的经验有较大不同，最好不要直接给出计数器的模型，这样学生难于接受。学生建立10根1捆的概念之后，教师应继续安排按照1捆与几根的形式数小棒、摆小棒活动。在学生熟练的基础上提出，把这种“1捆与几根”摆的形式，可以直观地用计数器上的珠子表示出来（最好用只有两个数位的计数器），接着指出为了计数的方便，可以把计数器上表示的数用数字记录下来。这样使得符号的计数、计数器模型与摆小棒的图像一一对应起来，让学生清晰地看到1捆和1根虽然都用数字1表示，但是在计数器上的位置是不同的。进而追问：这两个“1”表示的意思是一样吗？学生真正认识并能准确叙述同一数字在不同数位所表示的意义不同之后，再向学生说明数位的概念。为了区分一个数在不同位置表示的意义是不同的，我们把表示“一”的位置叫个位，放在最右边，把表示“十”的位置放在右边第二位叫十位。计数器的适时引进，让学生充分认识到了数是对计数的一种符号记录，数位是为了区分计数中不同的计数单位而产生的。
2、运用计数器，突破认知难点。
虽然教材、教师在计数单位和数位的教学中充分安排了各种数数活动，但学生的认知难点始终都是存在的，教学中是不可逃避的。从学生在课堂中的表现可以看出，从计数单位概念的初始建立一直到“千”、“万”、“亿”的认识中，学生的难点在于为什么要引进新的计数单位，在数到19、90、900、9000、9千万等数的时候，对再增加一个计数单位该如何表示时总存在困难。此时，运用计数器模型，使得学生的数数计数等操作活动、计数器模型的图像表象、语言交流和符号化的数之间建立起联系，通过学生自省、教师追问，学生能自觉意识到一个数位上已经满十，应该向前一位进一，从而感受到引进新的计数单位的必要，突破认知的难点。
以上自然数计数单位和数位教学中几点策略，为小范围内研究数的概念教学的一些认识，由于实践能力和研究水平有限，属于一己之见，仅为大家提供借鉴。但是，研究过程中有一点可以肯定，那就是自然数计数单位和数位的概念虽然抽象、小学生难于理解，但是不同年级不同阶段的前测表明，学生有数数的经验作为基础。因此，教学应该紧抓基础，让其成为教学的起点和出发点，在此基础上充分理解教材、读懂学生在中课堂的行为，化难为易，让学生真正理解计数单位和数位的概念，实现数概念的有效教学。
