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Brillouin积分方法 (Monkhorst-Pack) 1

2009-11-05 21:31阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1595271890

http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_5f15ead20100dxqb.html?vt=4 中已经详细论述过Brillouin取点的方法。但那毕竟是转载的文章。今天自己看完Monkhorst的原始文献，觉得还是值得把自己的体会再写下来的，作为上面的一些补充吧；）


Special points for Brillouin-zone integrations
1：选取均匀k点
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
一维：
q=1时，gama点
q=2时，-1/2和1/2，不含gama点
q=3时，-2/3，0，2/3
q=4时，-3/4，-1/4，1/4，3/4


二维：
q=1时，gama点
q=2时，(-1/2,-1/2);(-1/2,1/2);(1/2,-1/2);(1/2,1/2)，不含gama点


三维：
q=1时，gama点
q=2时，
(0.5 0.5 0.5) (-0.5 0.5 0.5) (0.5 0.5 -0.5) (-0.5 0.5 -0.5)
(0.5 0.5 -0.5) (-0.5 0.5 -0.5)(0.5 -0.5 -0.5) (-0.5 -0.5 -0.5)
不含gama点
注：记得在哪里看到过，pwscf取k的时候，即时是q为偶数时，也会人为的把gama点加上




2：构建正交归一函数系
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
Am(k)在自变量是k，m只是下角标。
Cm=0;1;1.414;1.732;2......组成一个正交归一函数系。
对于简立方晶格，晶格常数为a
A_1对应的Cm长度为0;A_2对应的Cm的长度为a;A_3对应的Cm的长度为1.414a;A_4对应的Cm的长度为1.732a。


3：验证Am的正交归一性
构建Am的内积
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
此处实际是对 Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1中所有的k点求和。其中
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
其中第三种情况是因为 $ W_j^{ab}(q) $是奇函数
若做如下限制
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
则有
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
注：Smn其实是 $ W_j^{ab}(q) $的连乘积。整个连乘积中只要有一个为0即可，不需要所有的因子都为0。因此 $ W_j^{ab}(q) $为delt函数是Smn为delt函数的充分条件，不是必要条件。因此件： $ |R_j^a| $ < $ q/2 $; $ |R_j^b| $ < $ q/2 $ 不一定非要满足。
考虑到波矢群的对称性，Smn可以化简为
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
其中 $ \omega_j $是体系所属点群阶数与 $ k_j $点的波矢群阶数的比值： $ \omega_j=n_G/n^{*} $。 $ P(q) $是所有不等价的 $ k $点的类数。因为处于高对称位置上的 $ k $点其波矢群阶数也比较高，因此相应的这些高对称 $ k $点的权重就比较小。这也是为什么在pwscf高对称的 $ k $点权重比较小的理论根本，也是特殊点法尽量避开高对称点的原因所在。(或许这就是kshift这个参数存在的意义)


3：利用Am将任意函数展开
当m和k均为infinite时，任意以k为自变量的函数均可利用Am展开
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
当m和k均为有限值时，可近似为
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
注意，f_m是与k无关的函数。
如果在费米面内对f(k)进行积分
Brillouin积分方法 <wbr>(Monkhorst-Pack) <wbr>1
注意，I_m是与k无关的函数，但I_m对应的积分只能对在费米面

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