乘法速算法
2010-02-21 11:18阅读：
一、乘法速算法：
特例一：两位数乘两位数，只要十位数相同，个位数相加等于10的。都能用这种算法。只需用十位数乘以比它大一的数，加上后两位数相乘即可。如果后两位数相乘只有一位时，前面要补0。如31*39=？先用3乘以比它大一的数4，为12，加上后两位数相乘1*9=9，只有一位，前面补0，为09，所以31*39=1209。它的原理是：假若这两个两位数分别为ab=10a+b，ac=10a+c，且b+c=10。
则ab*ac=（10a+b）*（10a+c）=100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc
=a(a+1)*100+bc，可以看到，只需用十位数a乘以比它大一的数a+1,然后补上两个位数的乘积bc,即可。
这里面又有一个特例，凡个位数为5的数的平方的速算。如35的平方，就是3*4=12，后面直接补上25，即得35^2=1225。现在您自己也可试下：95^2=9025。还可推广到小数，如6.5^2=？先算6*7=42，后面直接补上.25即可。所以6.5^2=42.25。
特例二：求11......1的平方。通常针对9个1以下的数的平方速算。方法是：有几个1，就由1写到几，再由大到小写到1。比如1111^2=？有4个1，结果就是1234321。111111=？有六个1，就写到12345654321。你现在试下11111111^2=？
特例三：求99......9的平方。通常针对9个1以下的数的平方速算。方法是：用平方差公式速算。原理是：a^2=a^2-1+1=(a+1)(a-1)+1。描述为：先将此N位数减1，再补上N个0，再加上1，即为所求。所以求999的平方就是：999^2=(999-1)(999+1)+1=998*1000+1=998001。现在您也可以速算99999^2=？了。口中直接说出9999800001。
特例四：四位数9999乘四位数的速算。原理为：9999*abcd=（10000-1）*abcd=abcd0000-abcd=（abcd-1）*10000+10000-abcd=（abcd-1）*10000+9999-（abcd-1）。所以9999乘四位数的原理是：先将要乘的四位数减1，这是前四位，而后四位再补上9999减去（abcd-1）的差值。这明显是特例，如将9
999换成其它四位数就失效。
····························
二、平方差法：
实例一：359999是合数还是质数？
答：359999是合数。理由如下：
359999
=360000-1
=600^2-1
=(600+1)×(600-1)
=601×599
由于359999可以分解为两个大于1的正整数相乘，所以它是个合数。
可以看出，直接分解是相当麻烦和困难的。
三、裂项相消法：
实例：1/a(a+1)+1/(a+1)(a+2)+1/(a+2)(a+3)+…+1/(a+2002)(a+2003)=？？？
解： 原式=1/a-1/(a+1)+1/(1+a)-1/(a+2)+.....+1/(a+2002)-1/(a+2003)
=1/a-1/(a+2003)
=2003/a(a+2003)
=2003/(a^2+2003a)
.............................
由于时间关系，只向您介绍那么多了，不好意思。
祝你成功！！！！！！！！！！！！世上无难事，只怕有心人！！！！ 回答人的补充 2009-08-05 16:56 常用速算法：
中学数学离不开计算，如果在学习得过程中养成一些好的或快捷的计算习惯，不只是在数学计算上给自己方便，即使在生活中也有不少的方便。兹举几个方法供南山同学参考。方法一：常见的平方数与立方数应该要记：例、
12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 ,………,102 = 100 , ……,272 = 729 ,
…..尽量往后延伸！（参看方法四） 13 = 1 , 23 = 8 , 33 = 27 ,43 = 64 , 53 = 125 ,
63=216, 73 = 343 , …..尽量往后延伸！请你想想看，我们是不是活在三度空间中，立方的东西到处都是。
方法二：移位速算法：将一个数字的因数或小数点或部分数字作适当的移置，计算上常有很快的结果。例1、简单的移位速算法；如 32×125 =
4000，算法是将32中的因数 8 移去乘 125 得 1000，即刻可知此答案为 4000！又如48 ×25 =
1200，算法是将48中的因数 4 移去乘 25 得 100，即刻可知此答案为 1200！EX.1. 84 × 25 =
___________. 2. 64 × 125 = ___________. 3. 120 ×25 = _________.4.
124 × 25 = __________. 5. 24 × 125 = ____________. 6. 440 × 125 =
_________. 注：1.一般而言被乘数中有4的因数，遇到 25 移 4 给他凑成100，遇到 250 移 4
给他凑成1000，、、、2. 被乘数中有8的因数，遇到 1.25 移 8 给他凑成10，遇到 12.5 移 8 给他凑成100，遇到
125 移 8
给他凑成1000，、、、例2、例1中遇到被乘数中没有4、8的因数怎麼办？不妨先乘100再除以4及先乘1000在除以8例如：92×25
= 9200 ÷ 4 = 2300 802 ×125 = 802000 ÷ 8 = 100250 38 × 25 = 3800 ÷ 4
=950 46 × 125 = 46000 ÷ 8 = 5750 EX.1. 82 × 25 = ___________. 2. 68
× 125 = ___________. 3. 122 ×25 = _________.4. 126 × 25 =
__________. 5. 44 × 125 = ____________. 6. 444 × 125 = _________.
7. 18 × 35 = _________ .(= 9×70=630) 8. 14 × 75 = _______.9. 12 ×
45 =_______.例3、又如 998 + 474 = 1472。 算法是将2 移去给998 很简单的就得1472，、、、
还有多少移位速算法等您去找，你的计算功力就一直在增加了！例4、计算 7.53×0.1 + 75.3×0.5 + 753×0.049 =
753×(0.001+0.05+0.049)=753×0.1=75.3
快速的发现是含753的数只有小数点位置不同，都把小数点移到另一个乘数上去就方便得多了。方法三、注意分数与小数的交换的应用：例、32×75
= 32× = 2400例、68 ×750 = 68 × ×1000 =(68÷4)×3×1000=17×3×100=51000例
、84×0.75=84× =(84÷4)×3=21×3=63注：1、一般而言被乘数中有4的因数，遇到 75
，被乘数先除以4后乘3，再加两个0，乘数中有4的因数，遇到 750 ，被乘数先除以4后乘3，再加三个0，遇到 7.5
，被乘数先除以4后乘3，再加一个0，、、、2、可以好好利用 ， ， ， ， ， 0.875 = 例、 480×125 =
60×1000=60000， 24×375 = 24000× =3000×3=9000， 8×625 = 8000×
=1000×5=5000，、、、Ex. 64×625 = _________. 96×62.5=_________.
32×0.625=___________.方法四、简易公式的应用：例1、98 × 102 = (100 – 2 )×(100 + 2)
= 10000 – 4 = 9996。（应用(a+b)(a-b)=a2-b2）例2、型如 (10x+5)2 可得 (x+1)(x)25
, 例如 752 =（7×8）后写上25=5625 , 452 = 2025 , …….理由是(10x + 5)2 = 100x2 +
2×10 × 5x + 25 = 100x(x+1) + 25。例3、利用公式(10a+b)2 = a2×100+b2 +
2a×b×10 (17)2 = 149+140 = 289 (18)2 = 164 +160 = 324 (27)2 =
22×100+72 + 2×2×7×10= 449+280=449+300-20=729 (39)2 = 32×100 + 92 +
2×3×9×10 = 981 + 540 = 1521 Ex：心算
192，232，242，262，282，292，、、、、例4、平方数也可利用下列公式计算： a2 = (a + b)(a – b) –
b2 例如： 392 = (39+1)(39-1)+1 = 38×40 + 1 = 1521 262 =(26+4)(26-4)+16
= 22×30+16=676 272 = 24×30+9= 729例5、不太大的连续两数的乘积：n×(n+1)= n2 +n
例如：26×27 = 676 + 26 = 702， 12×13=144+12=156，、、、例6、连续四个整数相乘 加 1
的平方根等於中间两个数相乘 减 1 = 例如求 的值 。为 2002 ×2003 – 1 =
4010005例7、两位数的十位数与个位数两数相反作相减时只需算十位数字相减的结果 ×9如 73 – 37 = 4×9 = 36 ，
84 – 48 = 4×9 = 36 ， 93 – 39 = 6×9 = 54，、、、原因是 (10×a + b) – (10×b +
a ) = 10(a-b) – (b-a) = (a-b)×9。同理；三位数的两个相反数作相减时只需算百位数字相减的结果 ×99如
783 – 387 = 4×99 = 396 ， 947 – 749 = 2×99 = 198， 835 – 538 =
297、、、（参考用，396+963 = 1089，198+891 = 1089，297+792 =
1089，、、、）例8、两位数的十位数与个位数两数相反作相加时只需算十位数字相加的结果 ×11如 34 + 43 = 7×11 =
77， 49 +94 = 13×11 = 141， 78 + 87 = 15×11 = 165，、、、注：一个数乘11
仅需将两位数相加结果放中间，两位数放两旁。如 14×11 = 151， 12×11 = 132， 19×11 = 209，
、、、例、观察 9×8=72 99×98=9702 999×998=997002
9999×9998=99970002…………………………………………………………………………….. 试算：
1.9999999999×9999999998=__________________.ans:999999999700000000022.999999999×999999997=__________________.ans:9999999960000000033.999999×999994=________________________.ans:9999930000064.9999×9992
=___________________________.ans:99910008例、1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1
= 8 ×8 = 64 。将它视为一个 8×8的方块面积。例、计算1+3+5+…+(2n-1) = n2
情况与上例相同。方法五：计算连续的等差数字和。 中间数 ×个数 例1、 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5 = 25
(奇数个时) 例2、 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 8×6 = 48 (偶数个时)方法六：取基准数作加减。 31
+ 32 + 29 + 30 + 27 + 33 + 28 = 7×30 + (1 + 2 – 1 + 0 – 3 + 3 – 2)
= 210本方法在统计数字中计算的常用方法，也称为平移法。方法七：补数(式)的运用。 例1、9 + 99 + 999 + 9999 +
99999 + 999999 = 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 + 100000 – 6 =
1111110 – 6 = 11111104 例2、22 + 23 + 24 + …+ 210 = 1 + 2 + 22 + 23 +
24 + …+ 29 = 210 – 2 – 1 = 1024 – 3 = 1021例3、 ω 为 x10 – 1 = 0
的复数根，求 ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 的值 ？由於 1 + ω + ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9
= 0 ，∴ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 = - 1
注意：上面这个方法用的地方很多！例4、(2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = ？补足一个括弧 (2 – 1)
(2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = 22n – 1 。又如 求 之值补足一个括弧 = 1 -
。方法八、一些关键数字的应用：例、 如果你知道7×11×13 = 1001那麼 479×7×11×13 = 479479。其他如
11×101 = 1111 ，11×111＝3×11×37 =1221 ， 11×11×11＝11×121＝1331，
11×131＝1441， 11×141＝3×517＝3×11×47＝1551， 11×151＝1661，
11×161＝1771，11×171＝11×3×3×19＝1881，11×181＝1991
也都值得注意。方法九、适当的利用交换律、结合律、分配律作速算：(其实与移动位置法有同工异曲之妙)例、8000 ÷ 125 ÷ 8 =
8000 ÷ (125×8) = 8 ----利用结合律例、8000000÷125÷5÷25÷8÷4÷2 =
8000000÷[(125×8)(25×4)(5×2)=8000000÷(1000×100×10)=8 ----利用结合律
例、256÷72×18÷4＝256÷(72÷18×4)＝256÷(4×4)＝256÷16＝16。注意除号后面的连乘除前加括弧时括弧内乘除符号要交换变符号。例、4500÷25=45×100÷25=45×(100÷25)＝45×4＝180。例、45000
÷125＝45×1000÷125＝45×(1000÷125)＝45×8＝360。例、999+999×999 = 999×(1+999)
= 999000 ----利用分配律例、9999×9999 +
19999=9999×9999+(10000+9999)=10000+9999×(9999+1)=10000×(1+9999)=100000000。其他：认识
5、15、25、35、45、55、65、75、85、95的性质：1、一个数以5去乘，计算的方法是先乘10，再用2去除比较快。例、7348×5=73480÷2=36740。因为用2去除一个数字心算比用5去乘一个数字简单，你认为呢？2、一个数以15去乘，计算的方法是先加数字的一半再成以10比较快。例、2242×15=(2242+1121)×10＝33630。因为
2242×15＝2242×1.5×10，乘15的意思就是将原数加一半。3、一个数以25去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘100比较快。例、2484×25＝(2484÷4)×100＝62100。因为
2484×25＝(2484×100)÷4＝(2484÷4)×100。4、一个数以35、45、55去乘，计算的方法是先将数字乘以该数的2倍再除以2比较快。例、123×45=123×90÷2=11070÷2=5535。5、一个数以75去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘300比较快。例、284×75
=
71×3×100=21300。6.至於一个数以55、65、75、85、95去乘，您也可想想法子作一些比较方便的算法。、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、您自己是否也有些速算的心得呢？将他再往下增添些您的「私房心算术」吧！附注小常识：中国计数的单位为
个（100）、十（101）、百（102）、千（103）、万（104）、亿（108）、兆（1016）、京（1032）、陔（1064）、秭（10128）、壤（10256）、泃（10512）、涧（101024）、正（102048）、载（104096）。您知道吗？
回答人的补充
2009-08-05 16:56 【速算】几十一乘以几十一的速算方法
例如： 21×61＝ 41×91＝
41×91=
51×61=
81×91=
41×51=
41×81= 71×81=
这些算式有什么特点呢？
对了，是“几十一乘以几十一”的乘法算式，用什么方法算就能
直接写出得数呢？
我们可以用：先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积。
“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”
就是一见到几十一乘以几十一的乘法算式，如果十位数的和是一
位数，我们先直接写十位数的积，再接着写十位数的和，最后写
上1 就一定正确；如果十位数的和是两位数，我们先直接写十位
数的积加1 的和，再接着写十位数的和的个位数，最后写一个1
就一定正确。
我们来看两个算式：
21×61＝
41×91＝
用“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”这
种速算方法直接写得数时的思维过程。
第一个算式，21×61＝？思维过程是：2×6＝12，2＋6＝8，
21×61 就等于1281。
第二个算式，41×91＝？思维过程是：4×9＝36，4＋9＝13，36＋1＝37，
41×91 就等于3731。
试试上面题目吧！然后再看看下面几题
61×91＝
81×81＝ 31×71＝
51×41＝
方法不错哦，强力推荐！
