离散与最值（极端思想、最不利原则）
2009-04-24 11:19阅读：
14、一次测验共10道问答题，每题评分标准是：回答完全正确，得5分，回答不完全正确，得3分，回答错误或未答，得0分。若保证至少有4人得分相同，参加这次测验的人数至少应有（
）人。根据评分标准可知，
最高得分为50分，
最低得分为0分，在0~50分之间，
1分，2分，4分，7分，47分，49分都不可能出现。
共有 〔45种〕不同得分。
根据抽屉原理，
至少有 〔45*3+1=136人〕参赛，才能保证至少有4人得分相同。
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15、停车场上有40辆客车，各种座位数不同，最少的有26座，最多的有44座。那么在这些客车中，至少有（
）辆的座位数是相同的。
解析:
已知客车最少有26座，
最多有44座
可知这40辆客车中
有26、27、28、…、44座
共19种不同的座位数的客车。
根据抽屉原理，
把19种座位看作19只“抽屉”，
40辆客车当作40只“苹果”，
苹果放进抽屉里，
因为40 =2*19+2 ，
可知，在这些客车中，
至少有3辆客车的座位是相同的。
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16、一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者的得分都是自然数，75人的总分是900分。问：至少有（
）人的得分相同。
由于每个人的得分都可以是0至20分，所以我们造21个分数的抽屉，75¸21=3…12，那么有12个抽屉中至少4个数，这时得分最大是4´(3+4+…20)
+2+2+2=831<900，所以至少4个人的得分相同是不可能的。
如果至少有5人的得分相同，得分最大是5´(3+4+…20)
+2+2+2=1038>900。是可行的。
所以至少有5人的得分相同。
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17、育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10个人中选两名，那么至少有（
）人参加投票，才能保证有不少于5个同学投了相同的两个候选人的票。
10名候选人中选2名，有C(10,2)=45种不同的选法。要保证有不少于5个同学投了相同两个候选人的票，至少要有45*4+1=181人。
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18、把325个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子个数不超过8个。问：至少有（
）只猴子分得的桃子一样多。
325/8=40.625
所以至少40只猴子得到的桃子一样多
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19、一个盒子里装有标号为1—100的100张卡片。某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有2张标号之差为5，那么至少要抽取（
）张卡片。
假如我们第一张取出1，那么，2、3也可以取，接下来的4、5、6因为跟1、2、3的差分别都是3，所以4、5、6这3张就不能取了，但往后的7、8、9又可以取了；......由此我们可以发现，每6张里面可以取3张；那么，100/6=16......4，所以，最多可以取出（16+1）*3=51张而没有任何两张之差为3的。这时，不管再继续抽出哪一张，都必定跟已抽出的其中一张差为3。所以说，要保证有两张标号之差为3，至少要抽出52张卡片才能保证。
将1~100分成5组：
a)1、6、11、16、21、...、91、96 共20个数字；
b)2、7、12、17、22、...、92、97 共20个数字；
c)3、8、13、18、23、...、93、98 共20个数字；
d)4、9、14、19、24、...、94、99 共20个数字；
e)5、10、15、20、25、...、95、100
共20个数字。
显然不同组的任意两张卡片标号之差不为5。
于是，若要任意两张标号之差不为5，
a)组最多只能取1、11、21、...、81、91或6、16、26、...86、96，10张卡片，
同理，b)、c)、d)、e)也最多只能各取10张卡片。
总计50张。
此时若再增加1张卡片，就必定有至少两张标号之差为5。
如果要求保证取出的卡片中至少有两张标号之差为5，至少要抽51张卡片。
原题题意易被误解，牛角尖答案为2。
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20、（04福州“迎春杯”）皮夹里有2元，3元，4元的邮票各10张，现在要寄一封12元邮资的信，不用眼睛看，从皮夹里抽出若干张邮票，为了保证从抽出的邮票中一定能凑出12元的邮票组合来，那么至少要抽出（
）张邮票。
1张不行；2张不行；3张只满足4元不行；4张只满足3元不行；5张不满足2*4+3*1=11（元）；6张不满足4*2+3*3+1*2=（8、9、10、11、13）
如果再取1张2元、3元、4元任意一张都可组成12元。
最不利的情况：2张4元=（4、8）、3张3元（3、6、9）、1张2元的（2）共6张
再取任何1张即可满足，所以至少要任意取7张。
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21、两个布袋里各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两个颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有球多少个？
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22、用载重15吨的汽车运送若干箱共重1963吨的货物，每箱货物重量相同且不超过350千克。当每箱货物重（
）千克时，需要的汽车最多，最多需要（
）辆汽车。
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练习2：
1．有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？
解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2
在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见a+b与c十分接近，所以③的面积最大。
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2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
解：要使其中任意3袋的总和都超过60块，那么至少也是61，先在每袋中放20个糖块，但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过60。要使任意3袋中至少一个21，这4个袋子的糖块分别是20，20，21，21。和为20+20+21+21=82
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3．把14分成几个自然数的和。再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大。问这个最大乘积是多少？
解：因为把一个数若干个3的乘积是最大的，所以将14分成3+3+3+3+2，3*3*3*3*2=162。
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4．用1，3，5，7，9这5个数组成一个三位ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。求算式ABC*DE-FGH*IJ的计算结果的最大值。
解：要使ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大，FGH*IJ最小。那么前面最大是751*93。后面最小是468*20。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483
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5．由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K。如果K是整数，那么K的最大值是多少？
解：设这个数为abc（a表示百位数字，b表示十位数字，c表示个位数字）
那么abc/（a+b+c）=K
(100a+10b+c)/(a+b+c)=K
要使这个算式最大，就要让a尽可能大，b,c尽可能的小。试一下：911/（9+1+1）=82……9，811/（8+1+1）=81……1，711/（7+1+1）=79，所以K最大是79。
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6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？
解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：
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7．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
222222-70000*3=12222 按下了3个7
12222-7000*1=5222 按下了1个7
5222-700*7=322 按下了7个7
322-70*4=42
按下了4个7 42-7*6=0
按下了6个7。
3+1+7+4+6=21次
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8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？
解：设两位数位ab（a表示十位数字，b表示个位数字）
ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1
a+b最大是18，此时余数为9]
当a+b=17，若a=9 余数为13 若b=9
余数为4
当a+b=16，若a=9 余数为1 若b=9
余数为15 此时余数最大。
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9．10位小学生的平均身高是1.5米。其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？
解:要最多有多少位同学的身高恰好是1.5米，就要使低于和高于1.5米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b)
2b=3a
至少是5人 那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是1.5米。
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10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个减法算式的差最大是多少？
解：要想差最大必须考虑被减数取最大，那么先考虑百位为9，同样考虑减数最小，百位为1，再通过试算得出936-152=784，此时差为最大既784。
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11．在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？
解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。8和7必然填在1，2两个方格内。前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。
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12．4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2个奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？
解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶
偶/奇=（偶+偶)/偶
奇*（偶+偶）=偶*偶*偶。因为偶*偶*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数
若是8，只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意，因为奇相等;若是16，有1/6+1/10=1/5+1/15
因此本题答案是16。
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13．一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。
解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。
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14．有13个不同自然数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72
还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56
100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数，100-64=36
36=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。
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15．将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。
解：{1，2，3，49，50} {4，5，6，47，48} ……
{28，29，30，31，32}
3+6+……+30=165（最小值）
{1，2，48，49，50} {3，4，45，46，47} ……
{19，20，21，22，23}
48+45+……+21=345（最大值）
