论勾股定理的一般化推论及比尔猜想的证明
2019-07-15 17:35阅读：
论勾股定理的一般化推论及比尔猜想的证明
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1、论勾股定理成立的充分必要条件及一般化推论
勾股定理也称毕达哥拉斯定理，对应于直角三角形的三条边：勾，股，弦，分别用a,b,c表示则有：a^2+b^2=c^2
。所谓勾三股四弦五即：3^2+4^2=5^2
,只是勾股定理的一个特例。
符合勾股定理的三元整数组称作勾股数组，可以证明这样的数组是有无穷多个的。勾股数组也可以称作特定类型的直角三角形的正整数解集合，也可以称作勾股三元数集合：f(g)={g1,g2,g3,g4,g5,…gn}.
大于2 的任意偶数：2n1.都可以构成一组勾股数分别是：2n,n^2-1,n^2+1.例如：n(6,8,10),n(8,15,17),n(10,24,26)等。
部分原始勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),
(11,60,61),(28,45,53),(33,56,65),(16,63,65)。可以看出勾股数a,b的奇偶性不同，且c总是奇数。
我可以令：a^2+b^2=c^2 且：ac 。
则有：a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)
其中：c-b,与c+b,总是完全平方数，且b,c没有公因数。假设没有公因数，则a,b,c是本原勾股数组，可以令：c+b=s^2,c-b=t^2,可以直观得出：c=s^2+t^2/2,b=s^2-t^2/2,
则有：a=√(c-b)(c+b)=st.
这就得出勾股数组定理：每个本原勾股数:(a,b,c),其中：a为奇数，b 为偶数，都可以由如下公式得出：a=st, b=s^2-t^2/2,
c=s^2+t^2/2 .
勾股数组的重要特点有：1、每个勾股数组总有一个被3除尽的的合数，存在于a,b中的任意一个，a=3n或b=3n。2、a,b,c中总有一个数是5的倍数。3，a,b总是互为奇偶数，如a为奇数则b必为偶数，如a为偶数则b必为奇数，a或b为偶数时必是4的整数倍表示为a=4k或b=4k，且c总为奇数。4，c^2-b^2=(c+b)(c-b).若b为偶数则必有：c-b,c+b同时为完全平方数！同理若a为偶数时：c^2-a^2=(c+a)(c-a),那么c+a,c-a必同时为完全平方数。
求勾股定理正整数解还有两种常见形式（证明略）：（1）、丢番图给出的公式：
X=a+√2ab,
y=b+√2ab,
z=a+b+√2ab
（2）、设a,b,c为本原勾股数组，如b为偶数即b=4k时必有如下公式：
a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2, 如a为偶数即a=4k时必有如下公式：
a=2mn, b=m^2-n^2, c=m^2+n^2。
我们可以得出如下推论：
（1）、因a,b,c中总有1组同时满足等于m^2-n^2,m^2+n^2,根据勾股定理上述公式可能出现1个完全平方数，但仅仅可能出现1个完全平方数！证明：如m^2+n^2=t^2，即c^2=t^2,
不妨设为偶数：b=2mn,那么a=√t^4-4m^2*n^2=√(t^2+2mn)(t^2-2mn),显然a不可能是一个完全平方数。所以本原勾股数组a,b,c中仅仅可能出现1个完全平方数。
（3）、因2mn必然是4的整数倍，所以m,n必互为奇偶数，如果同时是奇数或偶数，则不能保证m^2+n^2,m^2-n^2同时为奇数。
（4）、本原勾股数组a,b,c的约数中必定包含了3,4,5这3个基本勾股数，或者说其中必有至少1个数同时是3,4,5的整数倍。
（5）、上述勾股定理正整数通解的一般形式可以直接推导出勾股定理，证明：
设：a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2
a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2
=m^4-2m^2*n^2+n^4+4m^2*n^2
=m^4+2m^2*n^2+n^4
c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2*n^2+n^4
上述两式的结果相同，所以：a^2+b^2=c^2，勾股定理在满足上述公式时成立。
2、勾股定理的一般化推论证明比尔猜想为偶次方时成立
比尔猜想在偶次方数的情况可以表示为：x^2a+y^2b=z^2c,
其中x,y,z整体互素，a,b,c为奇数且整体互素且大于或等于2，那么，2a,2b,2c则可以表示大于或等于4的所有偶数。
根据指数方程原理我们可以将上式表达为任意次方数的平方形式：
(x^a)^2+(y^b)^2=(z^c)^2
如果a=b=c≥2则为费马大定理时的情形，那么我们只要证明了比尔猜想费马大定理自然是比尔猜想的一个推论或者说特例。因勾股定理成立有一般的正整数通解，如果上述方程不符合勾股定理的正整数通解公式那么比尔猜想则可以证明，即：
(x^a)^2+(y^b)^2≠(z^c)^2
根据勾股定理正整数通解公式，不妨设：x^a=m^2-n^2,
y^b=2mn, z^c=m^2+n^2
证明：（1）、根据我们上文的推论可将方程：(x^a)^2+(y^b)^2=(z^c)^2 转化为：
(x^a)^2=(z^c)^2-(y^b)^2=(z^c+y^b)(z^c-y^b),我们已经得出结论如勾股定理成立则上式中的因式(z^c+y^b)，(z^c-y^b)必然同时为完全平方数，在c=b=2时，两因式表达为：
(z^2+y^2),(z^2-y^2),显然两因式只可能有1个完全平方数，在b,c大于2且不相等的情况下完全不具备勾股定理成立的充分必要条件。
（2）、根据我们假设的正整数通解公式：x^a=m^2-n^2,
y^b=2mn, z^c=m^2+n^2
假设的勾股数组：x^a,y^b,z^c，3个数同时为大于或等于2的次方数，而我们上文得出推论，本原勾股数组只可能出现1个平方数，显然在a=b=c=2或者更高次方时，上述假设不具备勾股定理成立的充要条件。
（3） 、我们可以证明只有a=b=c=1时才满足勾股定理成立的充要条件。证明如下：
若令a=b=c=1，则x=m^2-n^2, y=2nm, z=m^2+n^2，则有：x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)
将公式代入：(z+y)(z-y)=(m^2+n^2+2mn)(m^2+n^2-2mn)=(m+n)^2*(m-n)^2
，显然z+y,z-y同时是完全平方数，结论满足勾股定理成立的充要条件。
同时，x=m^2-n^2, y=2nm, z=m^2+n^2也只可能出现1个完全平方数，满足勾股定理成立的充要条件。
值此我们根据勾股定理的正整数通解公式，巧妙证明了比尔猜想在偶次方时成立，即证明了不等式：(x^a)^2+(y^b)^2≠(z^c)^2
在gcd(x,y,z)=1,(a,b,c)≥2时成立。
