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加速上升的电梯中单摆周期推导

2009-10-29 15:12阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1608972085

在振动部分练习中，有这样一道典型的习题：一个单摆挂在电梯内，电梯向上作匀加速运动，加速度为a，则单摆的周期是多少？ 　　这就是一道求非惯性系中单摆周期的问题，在以前的各类参考书中都只是直接给出了此题的答案，而没有进行详细的分析．此处用三种方法来分析该题的解答过程.
　　一、回复力表达式法
　　作简谐运动的物体所受回复力为F回= -kx，而周期为 加速上升的电梯中单摆周期推导 因此，要求周期只要求出回复力表达式中的比例数k就可以了．这就是回复力表达式法求周期的基本思路.
　　对'习题'可这样分析：电梯内的单摆摆到任意位置A时，摆角为θ，摆球受重力G和绳拉力f（为不与周期T的符号混淆，此文用f表示摆线的拉力）的作用．如图1，以地面为参照物．将f分解为fy和fx．则fy与G的合力提供摆球随电梯一起向上运动的加速度，对回复力无贡献.且由牛顿第二定律知： fy-mg=ma
加速上升的电梯中单摆周期推导

即： fcosθ＝mg+ma…………　①
而fx又可分解为切向（垂直于绳，但）的fxτ和法向（沿绳指向悬点O）的fxn两分量，则有
F回＝fxτ＝ fxcosθ…………②
fx＝fsinθ ……………………③
由①、②、③式可得
F回＝m（a+g）sinθ
　　再按惯性参照系中单摆回复力的分析方法，即可进一步推导出电梯中最大摆角θm＜5°情况单摆回复力的表达式：
F回＝ -[m(g + a)/L]x
　　（式中x为摆球任意位置时对最地点的位移）所以可以确定其周期为
加速上升的电梯中单摆周期推导
　　二、最低位置拉力表达式法
　　对于惯性系中的单摆，其周期 加速上升的电梯中单摆周期推导式中g在最低点平衡时拉力的表达式f=mg中与质量相乘的加速度值。由此我们可类推求出在非惯性中摆球在最低点相对“平衡”（相对电梯静止）时拉力f′的表达式。由牛顿第二定律：
f′-mg =ma，
即f′=m（a+g）这样可知电梯中摆的周期为：
加速上升的电梯中单摆周期推导
　　三、惯性力法
　　以电梯为参照物，则摆球处于非惯性系中，应用牛顿第二定律时，必须引入惯性力。此时摆球受力有：重力G、绳拉力f和惯性力ma（如图2所示）
加速上升的电梯中单摆周期推导
　　G与ma的合力F =m（a+g）的切向分量充当回复力，故有：F回=m（g +a）sinθ，
当θm＜5°时，有
F回=-[m(a+b)/L]x，
令k=m(g+a)/L,则有
加速上升的电梯中单摆周期推导
　　以上三种求非惯性系中单摆周期的方法，前两种很容易接受．最后一种涉及到惯性力概念。

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