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重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)

2010-01-22 09:22阅读:
(来源:http://hi.baidu.com/%D1%A9%D3%A5j/blog/item/672663d367bb5d0a3bf3cf12.html)
人们总是希望用最少的基本法则,解释更多的客观现象,希望所有的客观事实,最好能统一到一个基本法则之上。
外力是改变物体运动状态的原因,具体来说就是基本定律,a=f/m,没有外力,物体不会出现加速度,其运动状态不会改变
这是深入人心的、也是一个公认的基本法则
那么,应用这个法则,如何理解陀螺的进动?
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)
悬挂的自转陀螺,转轴一端添加重物,造成两端受力不平衡形成力矩,陀螺不沿着受力方向翻转,却出现了水平运动。这是司空见惯的现象,人人都亲眼见过甚至亲手做过。用公认的f=ma,如何解释这个现象?

当然,使用角动量定理dL/dt=M,可以很方便地给出解释,角动量随时间的变化率等于重力矩M,而向下的重力形成的重力矩M的方向,根据右手螺旋定则确定为水平方向,因此角动量方向水平变化,因此陀螺水平进动。
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)

这当然很简单,但是引入了另一个法则--右手螺旋定则,并且,角动量矢量L,并不能真实反映陀螺自转轴的方位,也就是不管陀螺本身是水平运动还是向下运动,M和dL的方向都是水平的

这无疑不如直接使用f=ma来得更加基本而直观,尽管可能会非常复杂,这不是一两句能说清楚的问题~篇幅会很长~
第一部分:

下面我尝试着直接从f=ma出发,针对此图来分析进动现象
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)
首先在惯性系,建立理想自由圆盘规则进动模型
以下分析均基于牛顿力学体系的惯性系,在此系统中,若存在加速度,必然存在具有施力者的真实外力f=ma
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)
自转角速度为ω的圆盘,受图示两个力F的作用,以角速度Ω绕竖直轴水平进动。分析圆盘边缘一个质点的运动(图中红色小球)

根据计算,他在蓝色箭头方向具有加速度a(t)=2RΩωcosωt,这是惯性系中的加速度,必然存在同方向的外力,该外力为f(t)=2mRΩωcosωt
根据外力是改变物体运动状态的原因可知,正是这个余弦形式的外力,导致该质点出现正弦形式的速度变化v(t)=Vsinωt
V---质点在3点位置时垂直盘面的速度=RΩ
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所有质点都在形如f(t)=2mRΩωcosωt的外力作用下,出现v(t)=Vsinωt的运动,因此,整体就不出现绕3-9轴的翻转,而表现出绕12-6轴转动,这就是进动以及它出现的原因

那么,根据计算,他在蓝色箭头方向具有加速度a(t)=2RΩωcosωt,这个加速度(也就是外力)当然不会凭空产生,必然是由其他外力传递而来,他来自何处?当然是图中的两个F
下面就两个F如何导致2RΩωcosωt进行简单分析
圆盘受两个F作用,当会出现绕3-9轴的角加速度α=M/I----I为圆盘对3-9轴的转动惯量,M为系统所受外力矩(图中的俩个F组成)
该角加速度会导致质点出现垂直盘面的线加速度a(θ)=[M/I]Rcosθ
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)
由于圆盘在自转,θ=ωt,因此,a(t)=[M/I]Rcosωt,这就是2RΩωcosωt

2RΩωcosωt=[M/I]Rcosωt
Ω=M/2Iω
圆盘对中心轴的转动惯量J=2I
故:Ω=M/2Iω=M/Jω
这就是经典力学的进动角速度公式,在经典力学中,他直接来自于Ω=力矩M/角动量L
上面对自由圆盘的进动,通过力矩→圆盘角加速度→质点线加速度→质点线速度的因果链,推理出圆盘整体的进动,回避了右手螺旋定则,基本解答了本文最初的问题
第二部分:
下面利用上述道理对下图情形进行分析
重新整理思路---陀螺进动现象浅谈(转)
由图中可知,陀螺重力仍然会形成力矩,导致转子绕3-9轴翻转,仍然会出现角加速度以及质点的线加速度a(t)=Acosωt,但是,如何计算?
考虑圆盘没有自转,那么它必将以支点为定点向下翻倒,其角加速度为α=mgr/(I+mrr),重力矩/整体对过支点横轴的转动惯量
此时支点向上的反力F小于mg,因此他对转子3-9轴形成的力矩小于mgr

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