一、 困扰教师的问题
不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。”
二、解惑所需的思辨
要用对立统一的观点看待0
众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。
附：《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:
“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。例如:
①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。这表明91=13×7。即91能被13整除。
②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。
一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。其中0≤r＜b
二、解惑所需的思辨
要用对立统一的观点看待0
众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。
附：《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:
“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。例如:
①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。这表明91=13×7。即91能被13整除。
②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。
一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。其中0≤r＜b